Consideremos una matriz
m \times n (
m filas y
n columnas ). Sin pérdida de generalidad, pongamos que
m:=3 y
n:=4 A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\end{pmatrix} a la cual le corresponde los siguientes conjuntos de índices de filas y columnas, respectivamente:
I=\{1,2,3,4\} y
J=\{1,2,3,4\}. Pues bien, podemos referirnos a una cierta submatriz
B de
A seleccionando su subconjunto de índices de fila
I_B y un subconjunto de índices de columna
J_B; pongamos que
I_B=\{2,3\} y
J_B=\{3,4,\}, entendiendo dicha submatriz como una matriz de tamaño
(3-2) \times (4-2), que, concretamente es
B\overset{.}{=}A[I_B;J_B]=A[\{2,3\};\{3,4\}]=\begin{pmatrix}a_{23} & a_{24} \\ a_{33} & a_{34} \end{pmatrix}
Diremos que una submatriz
B de una matriz
A es principal si eliminamos las filas y columnas de igual índice, esto es
I_B=J_B, y lo abreviaremos con la notación
A[I_B]. Así, por ejemplo, si eliminamos la primera fila y la primera columna, obtenemos la matriz principal
A[\{1\}]=\begin{pmatrix}a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{32} & a_{33} & a_{34} \end{pmatrix}
Por
menores complementarios de una matriz
A_{m \times n} nos referimos a los determinantes de las submatrices cuadradas, que obtengamos al eliminar una o más de las filas o columnas de la matriz dada.
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Matrices cuadradas de orden m
Si en una matriz cuadrada de orden
m seleccionamos las filas y columnas
I=J=\{1,\ldots,k\} ( con
k\le m ), obtenemos una matriz principal superior; y si seleccionamos las filas y columnas con
I=J=\{k,\ldots,m\} obtenemos una matriz principal inferior.
Así, para una matriz
B=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{pmatrix}, hay tres submatrices principales superiores:
B[\{1\}]=(b_{11}),
B[\{1,2\}]=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} y
B[\{1,2,3\}]=B.
Y también tres matrices principales inferiores:
B[\{3\}]=(b_{33}),
B[\{2,3\}]=\begin{pmatrix}b_{22} & b_{23} \\ b_{32} & b_{33} \end{pmatrix} y
B[\{1,2,3\}]=B
Si se elimina una sola fila y una sola columna, los menores complementarios que así se obtienen se denominan
primeros menores de dicha matriz cuadrada, y se necesitan para encontrar la matriz de cofactores, la cual es útil para calcular el determinante y la inversa de matrices cuadradas. Además, en el caso de que la submatriz cuadrada formada sea una
submatriz principal, los correspondientes primeros menores se denominan
menores principales.
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Nota. Los determinantes de las matrices principales superiores/inferiores se denominan menores principales superiores/inferiores.
Al eleminar la fila
i y la columna
j de una matriz cuadrada
A_{m \times m} obtenemos el menor complementario que suele notarse de la forma
M_{ij}; o, como también suele decirse, el
(i,j)-ésimo menor complementario de
A ) y que, lógicamente, es de orden
m-1. Dicho menor puede entenderse como el que resulta de eliminar la fila y la columna a las que pertenece el elemento
a_{ij} de la matriz
A. Recordemos que en el caso de obtener un cierto menor eliminando una única fila y una única columna, hablamos de primeros menores, por lo que si se obtienen eliminando dos filas y dos columnas, los llamaremos segundos menores, etcétera.
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