Tipos de movimientos en un espacio afín euclídeo. Caso de un movimiento helicoidal

Consideremos un espacio afín euclídeo $E$, y un endomorfismo afín $f:E\rightarrow E$ siendo la $M$ la matriz asociada con respecto a un sistema de referencia euclídeo $\mathcal{R}$ $$M=\begin{pmatrix}1&0&0&0 \\ 1&\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}&-\frac{2\sqrt{3}}{5} \\ 2&\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}&\frac{2\sqrt{3}}{5} \\ -1& -\frac{2\sqrt{3}}{5}& -\frac{2\sqrt{3}}{5}& -\frac{1}{5}\end{pmatrix}$$ Es sabido que $f$ es un movimiento. ¿Qué tipo de movimiento es?

La matriz que representa a la aplicación lineal asociada a $f$ es $$\tilde{M}=\begin{pmatrix} \frac{3}{5}&-\frac{2}{5}&-\frac{2\sqrt{3}}{5} \\ \frac{2}{5}&-\frac{3}{5}&\frac{2\sqrt{3}}{5} \\ -\frac{2\sqrt{3}}{5}& -\frac{2\sqrt{3}}{5}& -\frac{1}{5}\end{pmatrix}$$

Podemos comprobar que $\text{det}(\tilde{M})=1$, lo cual nos indica que se trata de un movimiento directo (además de las distancias y la forma, se conserva la orientación de las figuras en la transformación).

Veamos si hay puntos fijos, que recordemos que son los puntos $X\in E$ que cumplan $(M-I)X=0_E$:
$$\left(\begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\ 1&\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}&-\frac{2\sqrt{3}}{5} \\ 2&\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}&\frac{2\sqrt{3}}{5} \\ -1& -\frac{2\sqrt{3}}{5}& -\frac{2\sqrt{3}}{5}& -\frac{1}{5}\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}\right) \begin{pmatrix}1\\x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix} $$ es decir $$\begin{pmatrix} 0&0&0&0 \\ 1&-\frac{2}{5}&-\frac{2}{5}&-\frac{2\sqrt{3}}{5} \\ 2&\frac{2}{5}&-\frac{8}{5}&\frac{2\sqrt{3}}{5} \\ -1& -\frac{2\sqrt{3}}{5}& -\frac{2\sqrt{3}}{5}& -\frac{6}{5}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}$$ que es lo mismo que $$\begin{pmatrix} -\frac{2}{5}&-\frac{2}{5}&-\frac{2\sqrt{3}}{5} \\ \frac{2}{5}&-\frac{8}{5}&\frac{2\sqrt{3}}{5} \\ -\frac{2\sqrt{3}}{5}& -\frac{2\sqrt{3}}{5}& -\frac{6}{5}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\1\end{pmatrix}$$

Ahora bien,
$\text{rango}\,\begin{pmatrix} -\frac{2}{5}&-\frac{2}{5}&-\frac{2\sqrt{3}}{5} \\ \frac{2}{5}&-\frac{8}{5}&\frac{2\sqrt{3}}{5} \\ -\frac{2\sqrt{3}}{5}& -\frac{2\sqrt{3}}{5}& -\frac{6}{5}\end{pmatrix}=2 \neq \text{rango} \left(\begin{array}{ccc|c} -\frac{2}{5}&-\frac{2}{5}&-\frac{2\sqrt{3}}{5} & -1 \\ \frac{2}{5}&-\frac{8}{5}&\frac{2\sqrt{3}}{5} & -2 \\ -\frac{2\sqrt{3}}{5}& -\frac{2\sqrt{3}}{5}& -\frac{6}{5} & 1 \end{array}\right)=3$, luego por el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es incompatible (no tiene solución), de lo cual se deduce que no hay puntos fijos. Y teniendo en cuenta que, además, es un movimiento directo, dicho movimiento ha de ser un m. helicoidal. $\diamond$

Movimientos en un espacio afín euclídeo

Consideremos un espacio afín euclídeo $E$, y un endomorfismo afín $f:E\rightarrow E$ siendo la $M$ la matriz asociada con respecto a un sistema de referencia euclídeo $\mathcal{R}$ $$M=\begin{pmatrix}1&0&0&0 \\ 1&\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}&-\frac{2\sqrt{3}}{5} \\ 2&\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}&\frac{2\sqrt{3}}{5} \\ -1& -\frac{2\sqrt{3}}{5}& -\frac{2\sqrt{3}}{5}& -\frac{1}{5}\end{pmatrix}$$ ¿Es $f$ un movimiento?

La matriz que representa a la aplicación lineal asociada a $f$ es $$\tilde{M}=\begin{pmatrix} \frac{3}{5}&-\frac{2}{5}&-\frac{2\sqrt{3}}{5} \\ \frac{2}{5}&-\frac{3}{5}&\frac{2\sqrt{3}}{5} \\ -\frac{2\sqrt{3}}{5}& -\frac{2\sqrt{3}}{5}& -\frac{1}{5}\end{pmatrix}$$

Para que $f$ sea un movimiento (se conserve la distancia entre dos puntos -isometría-), la matriz $\tilde{M}$ ha de ser ortogonal, esto es, tiene que cumplirse que $\tilde{M}=\tilde{M}^\top$, o lo que es lo mismo, $$\tilde{M}\tilde{M}^\top=\tilde{M}^\top\,\tilde{M}=I$$

Veamos si ésto se cumple:
La matriz traspuesta de $\tilde{M}$ es (cambiando filas por columnas en el mismo orden) $\tilde{M}^\top=\begin{pmatrix} \frac{3}{5}&\frac{2}{5}&-\frac{2\sqrt{3}}{5}\\ -\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}&\frac{2\sqrt{3}}{5}\\ -\frac{2\sqrt{3}}{5}&\frac{2\sqrt{3}}{5}&-\frac{1}{5} \end{pmatrix}$

Y se comprueba que $$\begin{pmatrix} \frac{3}{5}&-\frac{2}{5}&-\frac{2\sqrt{3}}{5} \\ \frac{2}{5}&-\frac{3}{5}&\frac{2\sqrt{3}}{5} \\ -\frac{2\sqrt{3}}{5}& -\frac{2\sqrt{3}}{5}& -\frac{1}{5}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{3}{5}&\frac{2}{5}&-\frac{2\sqrt{3}}{5}\\ -\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}&\frac{2\sqrt{3}}{5}\\ -\frac{2\sqrt{3}}{5}&\frac{2\sqrt{3}}{5}&-\frac{1}{5} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0& 0 & 1 \end{pmatrix}$$ luego $f$ corresponde a un movimiento. $\diamond$

Noción de geometría afín. Espacio afín y variedades afines. Espacio afín euclídeo

Se puede decir que la geometría afín es la generalización natural de la geometría de las rectas en un plano, y de las rectas y planos en el espacio. Las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales compatibles están ligadas a los objetos de la geometría afín, expresándose éstas en términos de lo que se conoce como variedades lineales (de una geometría afín), que son el conjunto de puntos cuyas coordenadas corresponden a dichas soluciones.

Así como en el estudio de las rectas en un plano y de las rectas y planos en el espacio hacemos uso de un sistema de coordenadas cartesianas, la generealización de dicho concepto nos lleva al de sistema de referencia afín. El estudio de las figuras que pueden construirse en un espacio tal puede entenderse también como dicha geometría afín.

En lo esencial podemos hablar por tanto de un espacio afín como lo que se refiere a la caracterización y estudio de sus subconjuntos, esto es, de lo que denominamos sus variedades y subvariedades afines. Y un problema destacable, por ejemplo, es el de determinar las incidencias entre dichas variedades. También sirve de base la geometría afín para estudiar conjuntos convexos de puntos, como son los paralelepípedos o el estudio de la programación líneal, pues la región factible de un problema de programación lineal no es otro que un conjunto convexo.

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Definición: Definimos un espacio afín como la terna $E:=(\mathcal{P},V_{\mathbb{R}},\varphi)$: donde $\mathcal{P}$ es un conjunto de puntos, $V_{\mathbb{R}}$ un espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{R}$, y $\varphi$ es una aplicación $\varphi:=\mathcal{P}\times \mathcal{P} \rightarrow V$, en el que se tiene un sistema de referencia formado por un punto $O$ al que denominamos origen del sistema de referencia y una base $\mathcal{B}$ de $V_{\mathbb{R}}$, $\mathcal{B}=\{\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n\}$ (donde $n$ es la dimensión de $V$)

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En adelante, en este artículo, particularizaremos para $n=3$. Hablaremos pues de las variedades de dicho espacio afín $E_3$: rectas y planos.

Rectas en $E_3$

Podemos hablar de la determinación de una recta $r\equiv(A,\vec{v})$ donde $A$ es un punto dado (fijado) de $r$ y $\vec{v}$ un vector característico de la misma (de la dirección de dicha recta). Así, para cualquier punto $\vec{X}$ de $r$ podremos escribir $\vec{x}=\vec{a}+\lambda\,\vec{v}$ (ecuación vectorial de $r$), donde $\vec{x}$ y $\vec{a}$ son los vectores de posición de $X$ con respecto de $P$ y de $A$ con respecto de $O$, respectivamente, siendo $\lambda \in \mathbb{R}$

A partir de la ecuación vectorial, podemos escribir las ecuaciones de $r$ en forma paramétrica: $$r:\left\{\begin{matrix}x = x_A + \lambda\,v_1 \\ y = y_A + \lambda\,v_2 \\ z = z_A + \lambda\,v_3\end{matrix}\right.\,(1)$$ donde $v_1, v_2$ y $v_3$ son las coordenadas primera, segunda y tercera, respectivamente, del vector $\vec{PX}$

Entonces, $\left\{\begin{matrix}x-x_A = \lambda\,v_1 \\ y - y_A = \lambda\,v_2 \\ z - z_A = \lambda\,v_3\end{matrix}\right.$, y como $\text{rango}(\vec{v})=1$, se tiene que para que el sistema dado por (1) sea compatible es necesario que $\text{rango}\begin{pmatrix}x-x_A & v_1 \\ y-y_A & v_2 \\ z-z_A & v_3 \end{pmatrix}=1$ (teorema de Rouché-Fröbenius), con lo cual deberá cumplirse que los menores de orden $2$ sean nulos: $$\begin{vmatrix}x-x_A & v_1 \\ y-y_A & v_2 \end{vmatrix}=0 \Rightarrow \dfrac{x-x_A}{v_1}=\dfrac{y-y_A}{v_2}\,(2)$$ $$\begin{vmatrix}x-x_A & v_1 \\ z-z_A & v_3 \end{vmatrix}=0 \Rightarrow \dfrac{x-x_A}{v_1}=\dfrac{z-z_A}{v_3}\,(3)$$ luego, de (2) y (3), podemos escribir la doble igualdad (ecuación de $r$ en forma continua) $$\dfrac{x-x_A}{v_1}=\dfrac{y-y_A}{v_2}=\dfrac{z-z_A}{v_3}$$

Observación: Podemos decir que dos rectas $r\equiv (A,\vec{v})$ y $s\equiv (Q,\vec{r})$ son idénticas si existen escalares $\nu, \mu \in \mathbb{R}$ tales que $\vec{u}=\nu\,\vec{v}$ y $\vec{PQ}=\mu\,\vec{v}$

Planos en $E_3$

En otra entrada del blog explico cómo describir un plano $\pi$ mediante un desarrollo del mismo estilo que el que acabo de hacer para el caso de la descripción de una recta, obteniendo la ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas y la ecuación implícita del plano a partir de la determinación del plano $\pi\equiv (P,\vec{v}\,,\,\vec{u})$ (un punto del plano y dos vectores coplanarios). Podéis verlo siguiente este enlace.

Además de la determinación de un plano mediante un punto del mismo y dos vectores coplanarios (tal como acabo de describir) también es posible determinar un plano mediante: una recta de dicho plano y un punto del plano exterior a la dicha recta, y también, mediante dos rectas coplanarias que se cruzan.

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Incidencia (posiciones relativas) de rectas y planos en el espacio

En las siguientes entradas explico los casos que pueden darse:

• Incidencia de dos rectas
• Incidencia de planos
• Incidencia de una recta y un plano

o o o

Nota: Si en un espacio afín dotamos al espacio vectorial asociado de un producto escalar (forma bilineal simétrica definida positiva), $\langle .\,,\,.\rangle$, dispondremos de una herramienta de medida (métrica); podremos entoces medir distancias y ángulos entre las variedades de dicho espacio. Con este añadido podemos hablar entonces de un espacio afín euclídeo.

Espacio afín euclídeo. Problemas métricos

1. Ángulo entre dos rectas $r$ y $s$. Sean: $\vec{v}$ un vector de $r$ y $\vec{u}$ un vector de $s$, entonces $\measuredangle{(r,s)}=\text{arccos}\,\left( \dfrac{\langle \vec{u}\,,\,\vec{u} \rangle}{u\,v}\right)$ donde $u$ y $v$ designan las normas euclídeas de $\vec{u}$ y de $\vec{v}$, respectivamente; esto es, $u:=\sqrt{\langle \vec{u}\,,\,\vec{u}\rangle}$ y $v:=\sqrt{\langle \vec{v}\,,\,\vec{v}\rangle}$
2. Ángulo entre dos plano $\pi$ y $\sigma$. Sean: $\vec{n}$ un vector ortogonal a $\pi$ y $\vec{m}$ un vector ortogonal a $\sigma$; entonces, como $\measuredangle{(\pi\,\sigma)}=\measuredangle{(\vec{n}\,,\,\vec{m})}$ se tiene que $\measuredangle{(\pi,\sigma)}=\text{arccos}\,\left( \dfrac{\langle \vec{n}\,,\,\vec{m} \rangle}{n\,m}\right)$ donde $n$ y $m$ designan las normas euclídeas de $\vec{n}$ y de $\vec{m}$, respectivamente; esto es, $n:=\sqrt{\langle \vec{n}\,,\,\vec{n}\rangle}$ y $m:=\sqrt{\langle \vec{m}\,,\,\vec{m}\rangle}$
3. Distancia (euclídea) entre un plano $\pi$ y un punto exterior $P$ al mismo. Consideremos un punto $H\in \pi$ conocido y $\vec{n}_1$ un vector unitario ortogonal a $\pi$, se tiene que $\text{distancia}(\pi,P)=\langle \vec{HP}\,,\,\vec{n}_1\rangle$
4. Distancia (euclídea) entre una recta $r$ y un punto exterior $P$ a la misma. Consideremos dos puntos $A,B\in r$ conocidos, entonces los vectores $\vec{AP}$, $\vec{AB}$ y $\vec{BP}$ caracterizan un triángulo $\triangle{A,B,P}$, puesto que $\vec{AP}=\vec{AB}+\vec{BP}$. Teniendo ahora en cuenta que, tomando como base de dicho triángulo, el lado $AB$, el área del mismo es $\mathcal{A}=\dfrac{\left\| \vec{AB} \right\|\cdot \text{distancia}(r,P) }{2}$, y que, por otra parte, al ser dicho triángulo la mitad del paralelogramo asociado, su área también es la mitad de la del mismo, esto es, $\dfrac{\left\| \vec{AB} \times \vec{BP} \right\| }{2}$ donde el numerador denota el módulo del vector producto vectorial de $\vec{AB}$ por $\vec{BP}$ (obsérvese que todas las cantidades son conocidas, pues se conocen (como datos) las coordenadas de los puntos $A,B$ y $P$. Por consiguiente, podemos escribir la igualdad, $$ \dfrac{\left\| \vec{AB} \right\| \cdot \text{distancia}(r,P) }{2}=\dfrac{\left\| \vec{AB} \times \vec{BP} \right\|}{2}$$ con lo cual, despejando la distancia pedida y simplificando, llegamos a $$\text{distancia}(r,P)=\dfrac{\left\| \vec{AB} \times \vec{BP} \right\|}{\left\| \vec{AB} \right\|}$$
5. Distancia entre dos rectas, $r$ y $s$, que se cruzan. Consideremos los puntos $A\in r$ y $B\in s$, y los vectores $\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)$ y $\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$ de $r$ y $s$, respectivamente. Entonces la ecuación del plano $\pi$ que contiene a $r$ y es paralelo a $s$ viene dado por $$\pi:\begin{vmatrix}u_1&v_1&x-x_A \\ u_2&v_2&y-y_A \\ u_3&v_3&z-z_A \end{vmatrix}=0$$ De dicha ecuación (en forma general) se extraen las coordenadas de un vector ortogonal $\vec{n}$ a dicho plano, y a partir del mismo podemos construir el correspondiente vector ortonormal $\vec{n}_1$. Finalmente, dado un punto $P \in r$ y un punto $P' \in s$ se tiene que $$\text{distancia}(r,s)=\text{distancia}(P,\pi)\overset{(3)}{=}\langle \vec{PP'}\,,\,\vec{n}_1\rangle$$

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Espacios vectoriales euclídeos con polinomios

Consideremos el espacio vectorial de los polinomios $V=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R})$ y definimos en él un producto escalar, por ejemplo de la siguiente manera $\langle p(x)\,,\,q(x) \rangle := \displaystyle \int_{0}^{1}\,p(x)\,q(x)\,dx$ (obtenemos así un espacio vectorial euclídeo). Entonces, tomando $\mathcal{C}=\{e_1=1,e_2=x,e_3=x^2\}$ como base estándar de $V$, queremos calcular la matriz de Gram asociada con respecto de esta base. Y, finalmente, el producto escalar de los polinomios $r(x)=-1+x+x^2$ y $s(x)=1+x-x^2$

Recordemos que la matriz de Gram se define como $$G:=\begin{pmatrix}\langle e_1\,,\, e_1 \rangle & \langle e_1\,,\, e_2 \rangle & \langle e_1\,,\, e_3 \rangle \\ \langle e_2\,,\, e_1 \rangle & \langle e_2\,,\, e_2 \rangle & \langle e_2\,,\, e_3 \rangle \\ \langle e_3\,,\, e_1 \rangle & \langle e_3\,,\, e_2 \rangle & \langle e_3\,,\, e_3 \rangle\end{pmatrix}$$ Hagamos los cálculos,
  $\langle e_1\,,\, e_1 \rangle = \displaystyle \int_{0}^{1}\, 1\cdot 1\,dx = 1$
  $\langle e_1\,,\, e_2 \rangle = \displaystyle \int_{0}^{1}\, 1\cdot x\,dx = \dfrac{1}{2}$
  $\langle e_1\,,\, e_3 \rangle = \displaystyle \int_{0}^{1}\, 1\cdot x^2\,dx = \dfrac{1}{3}$
  $\langle e_2\,,\, e_1 \rangle = \displaystyle \int_{0}^{1}\, x\cdot 1\,dx = \dfrac{1}{2}$
  $\langle e_2\,,\, e_2 \rangle = \displaystyle \int_{0}^{1}\, x\cdot x\,dx = \dfrac{1}{3}$
  $\langle e_2\,,\, e_3 \rangle = \displaystyle \int_{0}^{1}\, x\cdot x^2\,dx = \dfrac{1}{4}$
  $\langle e_3\,,\, e_1 \rangle = \displaystyle \int_{0}^{1}\, x^2\cdot 1\,dx = \dfrac{1}{3}$
  $\langle e_3\,,\, e_2 \rangle = \displaystyle \int_{0}^{1}\, x^2\cdot x\,dx = \dfrac{1}{4}$
  $\langle e_3\,,\, e_1 \rangle = \displaystyle \int_{0}^{1}\, x^2\cdot x^2\,dx = \dfrac{1}{5}$
luego, $$G=\begin{pmatrix}1 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} \\ \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{4} \\ \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{5} \end{pmatrix}$$ Entonces, para calcular el producto escalar $\langle r(x)\,,\,s(x)\rangle$ -siendo las coordenadas de dichos dos vectores (con respecto de la base $\mathcal{C}$), $r(x)=(-1,1,1)$ y $s(x)=(1,1,-1)$-, sabemos que éste puede calcularse utilizando la matriz de Gram que acabamos de calcular: $$\langle r(x)\,,\,s(x)\rangle=(r_1,r_2,r_3)\,G\,(s_1,s_2,s_3)^\top$$ por consiguiente, $$\langle r(x)\,,\,s(x)\rangle=(-1,1,1)\,\begin{pmatrix}1 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} \\ \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{4} \\ \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{5} \end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}=-\dfrac{1}{5}$$

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Comprobamos que obtenemos el mismo resultado aplicando el producto escalar tal cual lo hemos definido: $$\langle -1+x+x^2\,,\,1+x-x^2 \rangle = \displaystyle \int_{0}^{1}\,(-1+x+x^2)\,(1+x-x^2)\,dx = \int_{0}^{1}\,(-x^4+3x^2-1)\,dx = -\dfrac{1}{5}$$ $\diamond$

Producto escalar y espacio vectorial euclídeo, producto mixto, volumen de un paralelepípedo, matriz de Gram

Si a un espacio vectorial le dotamos de un producto escalar (forma bilineal simétrica definida positiva), obtenemos un espacio vectorial euclídeo. Si cambiamos de producto escalar, tendremos otro espacio vectorial euclídeo distinto.

Se considera un paralelepípedo cuyos vectores respresentativos (con orígenes en uno de los vértices del paralelepípedo son $\{\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)_\mathcal{C}, \vec{v}=(v_1,v_2,v_3)_\mathcal{C}, \vec{w}=(w_1,w_2,w_3)_\mathcal{C}\}$, coordenadas con respecto a una base ortonormal, como por ejemplo, la base canónica $\mathcal{C}=\{\hat{i}=(1,0,0), \hat{j}=(0,1,0), \hat{k}=(0,0,1)\}$. El volumen de dicho paralelepípedo viene dado por $V=\langle (\vec{u} \times \vec{v} ),\vec{w} \rangle =\text{det}(M)$, donde $M=\begin{pmatrix}u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\\w_1&w_2&w_3\end{pmatrix}$

Vamos a ver ahora cómo podemos manejar dicho determinante. Teniendo en cuenta las siguientes propiedad de los determinantes: i) $\text{det}(A\cdot B)=\text{det}(A)\cdot \text{det}(B)$ y ii) $\text{det}(A)=\text{det}(A^\top)$, siendo $A$ y $B$ dos matrices cuadradas cualesquiera. Entonces, es claro que podemos escribir el cuadrado del volumen de la forma $V=\text{det}(M)=\text{det}(M^\top)$, luego $V^2=V\cdot V= \text{det}(M)\cdot\text{det}(M)= \text{det}(M)\cdot \text{det}(M^\top)=\text{det}(M\, M^\top)$
  $=\text{det}\,\left(\begin{pmatrix}u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\\w_1&w_2&w_3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_1&v_1&w_1\\u_2&v_2&w_2\\u_3&v_3&w_3\end{pmatrix}\right)$
    $=\text{det}\,\begin{pmatrix}u_1\,u_1+u_2\,u_2+u_3\,u_3&u_1\,v_1+u_2\,v_2+u_3\,v_3&u_1\,w_1+u_2\,w_2+u_3\,w_3 \\ v_1\,u_1+v_2\,u_2+v_3\,u_3&v_1\,v_1+v_2\,v_2+u_3\,v_3&v_1\,w_1+v_2\,w_2+v_3\,w_3 \\ w_1\,u_1+w_2\,u_2+w_3\,w_3&w_1\,v_1+w_2\,u_2+w_3\,v_3&w_1\,w_1+w_2\,w_2+w_3\,w_3 \end{pmatrix}$
      $=\text{det}\,\begin{pmatrix} \langle \vec{u}\,,\,\vec{u}\rangle & \langle \vec{u}\,,\,\vec{v}\rangle & \langle \vec{u}\,,\,\vec{w}\rangle \\ \langle \vec{v}\,,\,\vec{u}\rangle & \langle \vec{v}\,,\,\vec{v}\rangle & \langle \vec{v}\,,\,\vec{w}\rangle \\ \langle \vec{w}\,,\,\vec{u}\rangle & \langle \vec{w}\,,\,\vec{v}\rangle & \langle \vec{w}\,,\,\vec{w}\rangle \\ \end{pmatrix} \quad (1)$
es decir, el determinante de la matriz de Gram, $G:=\begin{pmatrix} \langle \vec{u}\,,\,\vec{u}\rangle & \langle \vec{u}\,,\,\vec{v}\rangle & \langle \vec{u}\,,\,\vec{w}\rangle \\ \langle \vec{v}\,,\,\vec{u}\rangle & \langle \vec{v}\,,\,\vec{v}\rangle & \langle \vec{v}\,,\,\vec{w}\rangle \\ \langle \vec{w}\,,\,\vec{u}\rangle & \langle \vec{w}\,,\,\vec{v}\rangle & \langle \vec{w}\,,\,\vec{w}\rangle \\ \end{pmatrix}$, o tensor métrico.

---

Observación: Es claro que $\mathcal{B}:=\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}$ es también una base de $\mathbb{R}^3$, aunque no sea una base ortonormal, tenemos así también un espacio vectorial euclídeo. Entonces podemos describir ese producto escalar (que no es el estándar) de dos vectores cualesquiera $\vec{s}=(s_1,s_2,s_3)_{\mathcal{B}}$ y $\vec{t}=(t_1,t_2,t_3)_{\mathcal{B}}$, referidos a dicha base $\mathcal{B}$ (no necesariamente ortonormal), de la forma: $$\langle \vec{s}\,,\,\vec{t} \rangle = (s_1,s_2,s_3)_{\mathcal{B}}\, \begin{pmatrix} \langle \vec{u}\,,\,\vec{u}\rangle & \langle \vec{u}\,,\,\vec{v}\rangle & \langle \vec{u}\,,\,\vec{w}\rangle \\ \langle \vec{v}\,,\,\vec{u}\rangle & \langle \vec{v}\,,\,\vec{v}\rangle & \langle \vec{v}\,,\,\vec{w}\rangle \\ \langle \vec{w}\,,\,\vec{u}\rangle & \langle \vec{w}\,,\,\vec{v}\rangle & \langle \vec{w}\,,\,\vec{w}\rangle \\ \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix}t_1\\ t_2\\ t_3\end{pmatrix}_{\mathcal{B}}$$

Démonos cuenta, sin embargo, de que en el caso particular $\alpha=\beta=\gamma=\pi/2$ (ya tenemos una base ortogonoal) y siendo $u=v=w=1$ (la base $\mathcal{B}$ es ahora ortonormal) $\mathcal{C}$) obtenemos lo que podríamos esperar: $\langle \vec{s}\,,\,\vec{t}\rangle = s_1\,t_1+s_2\,t_2+s_3\,t_3$, esto es, el producto escalar estándar.

--- Por lo tanto, los ángulos que forman los vectores $\vec{u},\vec{v},\vec{w}$ entre ellos son:
$\alpha:=\measuredangle{(\vec{v}\,,\,\vec{w})}=\dfrac{\langle \vec{v}\,,\,\vec{w}\rangle}{v\,w}$
$\beta:=\measuredangle{(\vec{u}\,,\,\vec{w})}=\dfrac{\langle \vec{u}\,,\,\vec{w}\rangle}{u\,w}$
$\gamma:=\measuredangle{(\vec{u}\,,\,\vec{v})}=\dfrac{\langle \vec{u}\,,\,\vec{v}\rangle}{u\,v}$
y, desde luego, $\measuredangle{(\vec{u}\,,\,\vec{u})}=\measuredangle{(\vec{v}\,,\,\vec{v})}=\measuredangle{(\vec{w}\,,\,\vec{w})}=0$, de (1) podemos escribir el volumen del paralelepípedo de la forma: $$ V^2 = \text{det}\,\begin{pmatrix} u^2 & u\,v\,\cos(\gamma) & u\,w\,\cos(\beta) \\ v\,u\,\cos(\gamma) & v^2 & v\,w\,\cos(\alpha) \\ w\,u\,cos(\beta) & w\,v\,\cos(\alpha)& w^2 \end{pmatrix} $$ luego $$ V = \sqrt{\text{det}\,\begin{pmatrix} u^2 & u\,v\,\cos(\gamma) & u\,w\,\cos(\beta) \\ v\,u\,\cos(\gamma) & v^2 & v\,w\,\cos(\alpha) \\ w\,u\,cos(\beta) & w\,v\,\cos(\alpha)& w^2 \end{pmatrix}} $$ $\diamond$

Acerca de dos importantes problemas de combinatoria

Queremos repartir tres lápices, cada uno de un color distinto (rojo, verde y azúl), entre dos personas (Juan y María), ¿de cuántas maneras podemos hacerlo? A ver si conseguimos generalizar el resultado que obtendremos de una manera muy sencilla. Si en lugar de repartir $3$ lápices quisiéramos repartir $10$ (todos de distinto color) entre $5$ personas, ¿cuántas posibilidades hay?

Hagamos un recuento muy elemental con la ayuda de una tabla:

    |==========================================|
    |  lápiz rojo  | lápiz verde | lápiz azúl  |
    |==========================================|
(1) |    María     |   María     |   María     | 
    |------------------------------------------|
(2) |    Juan      |   Juan      |   Juan      | 
    |------------------------------------------|
(3) |    María     |   María     |   Juan      | 
    |------------------------------------------|
(4) |    María     |   Juan      |   Juan      | 
    |------------------------------------------|
(5) |    Juan      |   Juan      |   María     | 
    |------------------------------------------|
(6) |    Juan      |   María     |   María     | 
    |------------------------------------------|
(7) |    María     |   Juan      |   María     | 
    |------------------------------------------|
(8) |    Juan      |   María     |   Juan      | 
    |==========================================|
    
  

(1) Los tres lápices se asignan a María
(2) Los tres lápices se asignan a Juan
(3) El lápiz rojo y el lápiz verde se asignan a María; y, el azúl, a Juan
(4) El lápiz rojo se asigna a María, y el verde y el azúl a Juan
(5) El lápiz rojo y el lápiz verde se asignan a Juan, y el lápiz azúl a María
(6) El lápiz rojo se asigna a Juan, y los lápices verde y azúl a María
(7) Los lápices rojo y azúl se asignan a María, y el verde a Juan
(8) Los lápices rojo y azúl se asignan a Juan, y el verde a María

Encontramos pues $8$ posibilidades. Si lo pensamos prescindiendo de este recuento tan elemental (escribiendo todas las posibilidades en la table) podemos razonar de la manera siguiente: Podemos elegir a $2$ personas el lápiz rojo; para cada una de las dos, podemos elegir también a las mismas personas para asignarles el lápiz verde; y lo mismo con el lápiz azúl. De esta manera, por el principio multiplicativo, el número total de posibilidades es igual a $2\cdot 2 \cdot 2 = 2^3$, lo cual nos va llevando a pensar en la generalización de la solución para casos no tan reducidos en tamaño: se trata del mismo problema que el de formar todas las palabras posibles de tres caracteres con un alfabeto de dos letras. En consecuencia, el número de posibilidades que hay a la hora de repartir $\ell$ lápices distintos entre $p$ personas es $p^\ell$, que corresponde a la fórmula de las variaciones con repetición -aunque no es bueno utilizar fórmulas sin entenderlas-: $\text{VR}_{\ell,p}:=p^\ell$, donde en particular $p$ no tiene por qué ser necesariamente mayor o igual que $\ell$, ni tampoco que $\ell$ tenga que ser necesariamente mayor o igual que $p$. Así, por ejemplo, para repartir $10$ lápices distintos entre $5$ personas, podremos hacerlo de $5^{10}=9\,765\,625$ maneras distintas.

-oOo-

Cambiemos ahora las condiciones: ¿Y si los lápices son indistinguibles? (todos del mismo color). Veamos ahora de cuántas maneras podemos repartir $3$ lápices iguales entre dos personas (Juan y María). Igual que antes, generalizaremos el resultado y lo aplicaremos por ejemplo al caso (de mayor tamaño) de repartir $10$ lápices iguales (idénticos/indistinguibles) entre $5$ personas, ¿cuántas posibilidades hay?

Es claro que no habrá tantas posibilidades (con los mismos datos) en relación al reparto de lápices distintos entre un cierto número de personas; así, si hay $8$ posibilidades a la hora de repartir $3$ lápices de colores entre $2$ personas, no encontraremos tantas para el caso de que los lápices sean del mismo color. Vamos a comprobarlo. Para ello, nos valdremos de una codificación apropiada:

Imaginemos una fila de dos casillas (una para cada una de las dos personas a las que repartiremos los lápices), con un símbolo separador (para distinguir un espacio de otro, a la izquierda o a la derecha de dicho separador). Así, la posibilidad de que los tres lápices fuesen asignados a Juan (y ninguno a María) vendría representada de la siguiente manera:

  |========================================|
  |    Juan            |       María       |
  |========================================|
  |   xxx              |                   | (tres lápices para Juan y ninguno para María)
  |                   ...                  |

  

Y así, podríamos explorar el resto de posibilidades, que vemos que son tres más:

                      ...
  
  |========================================|
  |                    |        xxx        | (tres lápices a María y ninguno a Juan)
  |========================================|
  |       xx           |        x          | (dos lápices para Juan y uno para María)
  |========================================|
  |       x            |        xx         | (un lápiz para Juan y dos para María)
  |========================================|

  

Y no hay más posibilidades, en total son $4$.

Encontraremos ahora el patrón de reparto para poder generalizarlo a casos de mayor tamaño (y de tamaño arbitrario). Observemos que la codificación viene dada siempre por un conjunto lineal de $3$ símbolo 'x' y un símbolo '|' a modo de separador; esto es: [xxx|] [xx|x] [x|xx] [|xxx] Los símbolos '[' y ']' no van a jugar ningún papel, sólo sirven para delimitar cada palabra por la izquierda y por la derecha. Entonces, el poblema que tenemos el de formar palabras con un conjunto de $3$ símbolos idénticos ('x') y un símbolo (separador) '|', pero eso ya lo sabemos resolver: la solución pasa por calcular de cuántas maneras podemos permutar esos símbolos, corrigiendo también el hecho de tener símbolos repetidos entre el conjunto de los mismos; es decir, en principio tenemos $(3+1)!$ posibilidades brutas, pero al corregir la repetición de los tres símbolos 'x' dividiendo por las permutaciones del número de cada grupo de símbolo idénticos: $$\dfrac{(3+(2-1))!}{3! \cdot (2-1)!}$$ lo cual nos da las $4$ posibilidades que ya sabemos que tenemos que encontrar, enfecto: $$\dfrac{(3+1)!}{3! \cdot 1!}=\dfrac{4!}{3!\cdot 1!}=\dfrac{4\cdot 3!}{3!\cdot 1!}=\dfrac{4}{1}=4$$

Pues bien, generalizando, si queremos repartir $\ell$ lápices idénticos entre $p$ personas, habrá que manejar ahora un conjunto de $\ell + (p-1)$ símbolos en total, en el cual hay un subconjunto de $\ell$ símbolos iguales entre sí y un subconjunto de $p-1$ separadores (por supuesto iguales todos ellos). Luego, en buena lógica, inferimos que podremos hacerlo del siguiente número de maneras: $$\dfrac{(\ell+(p-1))!}{\ell! \cdot (p-1)!} \quad (1)$$ Así, el número de maneras en que podemos distribuir $10$ lápices (ahora idénticos) entre $5$ personas es de (1): $\dfrac{(10+(5-1))!}{10! \cdot (5-1)!}=\dfrac{14!}{10!\cdot 4!}=1\,001$ (bastantes menos que si los lápices fuesen de colores distintos).

Comentario: La fórmula (1) que hemos deducido puede escribirse como un número combinatorio: $\binom{\ell+(p-1)}{p-1}=\dfrac{(\ell+(p-1))!}{\ell! \cdot (p-1)!}$ y que por tanto es también igual a este otro número combinatorio: $\binom{\ell+p-1}{\ell}$. También se la suele designar como fórmula de combinaciones con repetición de $\ell$ 'elementos' a distribuir en $p$ 'lugares', $\text{CR}_{\ell,p}$, esto es: $$\text{CR}_{\ell,p}:=\dfrac{(\ell+(p-1))!}{\ell! \cdot (p-1)!}$$, donde en particular $\ell$ no tiene por qué ser necesariamente mayor o igual que $p$, ni tampoco que $p$ tenga que ser necesariamente mayor o igual que $\ell$. $\diamond$

Extracciones simultáneas de bolas de una urna

Una urna contiene tres bolas blancas y cinco bolas negras. Extraemos tres bolas simultáneamente, ¿cuál es la probabilidad de que de las tres bolas al menos dos sean negras?

Si hubiésemos hecho las extracciones con reposición, ¿cuál sería en tal caso el resultado?

Extracción simultánea de las tres bolas (extracciones sucesivas de las tres bolas sin reposición)

Debemos considerar que para que se obtenga el resultado pedido, es posible que de las tres bolas extraídas dos sean negras y una blanca o bien podría ser que las tres fuesen negras, entonces aplicando el principio de Laplace y teniendo en cuenta que al ser los dos sucesos favorables, por aditividad se tiene que $$\displaystyle \dfrac{\binom{5}{2}\cdot \binom{3}{1}}{\binom{5+3}{3}}+\dfrac{\binom{5}{3}\cdot \binom{3}{0}}{\binom{5+3}{3}}=\frac{5}{7}\approx 0,71$$

Extracciones sucesivas de las tres bolas con reposición

En estas condiciones (extracciones sucesivas con reemplazamiento) los resultados de extraer cada una de las tres bolas son independientes, luego podemos utilizar la fórmula de la distribución binomial, en la que, por la regla de Laplace, la probabilidad de sacar bola negra en cada extracción es $\frac{5}{8}$ y la de sacar bola blanca $\frac{3}{8}$. Entonces la probabilidad pedida es: $$\displaystyle \binom{3}{2}\,\left(\frac{5}{8}\right)^2\cdot \left(\frac{3}{8}\right)^1 + \binom{3}{3}\,\left(\frac{5}{8}\right)^3\cdot \left(\frac{3}{8}\right)^0 =\frac{175}{256}\approx 0,68$$

Observemos que en el caso de las extracciones sucesivas con reposición (extracciones sucesivas independientes), la probabilidad obtenida es algo menor que la que corresponde a la extracción simultánea de las tres bolas (equivalente a tres extracciones sucesivas sin reposición, y por tanto dependientes unas de otras). $\diamond$

Distancia euclídea entre dos puntos de un espacio euclídeo $\mathbb{R}^n$

La distancia entre dos puntos cualesquiera, $P$ y $Q$, de un espacio euclídeo se define de la siguiente manera: $$\text{distancia}(P,Q)=\text{distancia}(Q,P)=\left\| \overset{\rightarrow}{PQ} \right\|=\sqrt{\langle \overset{\rightarrow}{PQ}\,,\,\overset{\rightarrow}{PQ} \rangle}=\sqrt{\langle \overset{\rightarrow}{QP}\,,\,\overset{\rightarrow}{QP} \rangle}$$ donde $\langle\,,.,\,\rangle$ designa un producto escalar euclídeo. $\diamond$

Distancia euclídea entre dos rectas que se cruzan

Consideremos dos rectas, $r_1:(P,\vec{u})$ y $r_2:(Q,\vec{v})$ en $\mathbb{R}^3$, y, por tanto, sus ecuaciones en forma continua son: $$r_1:\dfrac{x-x_P}{u_1}=\dfrac{y-y_P}{u_2}=\dfrac{z-z_P}{u_3}$$ $$r_2:\dfrac{x-x_Q}{v_1}=\dfrac{y-y_Q}{v_2}=\dfrac{z-z_Q}{v_3}$$ de tal manera que se crucen (no se cortan), esto es, $\Leftrightarrow \text{rango}(\vec{u},\vec{v},\overset{\rightarrow}{PQ})=3$. En estas condiciones, queremos calcular la distancia entre las dos rectas, $\text{distancia}(r_1,r_2)$. Entonces, podemos empezar encontrando un plano $\pi$ que contenga a los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$, para, a continuación, obtener el vector normal unitario al mismo, $\vec{n}_1$. Finalmente, encontraremos dicha distancia con ayuda del producto escalar euclídeo: $$\text{distancia}(r_1,r_2)=\langle \vec{n}_1\,,\,\overset{\rightarrow}{PQ} \rangle$$

---

Veamos ahora los pormenores del procedimiento. Para calcular un vector normal a $\pi$, podemos hacerlo de dos maneras:

1. Mediante el producto vectorial: $\vec{n}=\begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\end{vmatrix}$, donde $\mathcal{C}=\{\hat{i}=(1,0,0),\hat{j}=(0,1,0),\hat{k}=(0,0,1) \}$ es la base canónica del espacio $\mathbb{R}^3$
2. Obteniendo la ecuación del plano $\sigma=(Q,\vec{u},\vec{v})$ -o, también, si se prefiere, del plano $\sigma'=((P,\vec{u},\vec{v})$-, uno u otro nos vale. Así, como ya sabemos, $$\sigma:\begin{vmatrix}u_1&v_1&x-x_P\\u_2&v_2&y-y_P\\ u_3&v_3&z-z_P\end{vmatrix}=0$$ con lo cual, desarrollando el determinante, llegaremos a la ecuación implícita del plano $$\sigma:\,Ax+By+Cz+D=0$$ por lo que sabremos que un vector normal a $\sigma$ es $\vec{n}=(A,B,C)$

Luego, toda vez hayamos obtenido un vector $\vec{n}$ normal al plano $\sigma$, el correspondiente vector normal unitario será $\vec{n}_1=\dfrac{\vec{n}}{\left\|\vec{n}\right\|}$

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Incidencias de una recta y un plano en $\mathbb{R}^3$

Sean los planos $\pi:Ax+By+Cz+D=0$ y $\pi':A'x+B'y+C'z+D'=0$ que intersecan, determinando una recta $r$. Consideremos también otro plano distinto de $\pi$ y de $\pi'$: $\pi'':A''x+B''y+C''z+D''=0$ El estudio de la incidencia de dichos planos lo podemos hacer a partir del análisis de rangos del sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}Ax+By+Cz+D=0 \\ A'x+B'y+C'z+D'=0 \\ A''x+B''y+C''z+D''=0\end{matrix}\right.$$ que en forma matricial podemos expresar como $$\begin{pmatrix}A&B&C\\A'&B'&C'\\A''&B''&C''\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}D\\D'\\D''\end{pmatrix}$$ Entonces, denotando por $M=\begin{pmatrix}A&B&C\\A'&B'&C'\\ A''&B''&C''\end{pmatrix}$ a la matriz de los coeficientes y por $\tilde{M}=\left(\begin{array}{ccc|c}A&B&C&D\\A'&B'&C'&D'\\ A''&B''&C''&D''\end{array}\right)$ a la matriz ampliada de los coeficientes se tiene que:

• Si $\text{rango}(M)=\text{rango}(\tilde{M})=3$, la recta $r$ corta a $\pi''$; la solución del sistema es el punto de intersección.
• Si $\text{rango}(M)=2$ y $\text{rango}(\tilde{M})=3$, el sistema es incompatible, luego $r$ y $\pi''$ no tienen puntos en común; esto es, la recta $r$ y el plano $\pi''$ son paralelos
• Si $\text{rango}(M)=\text{rango}(\tilde{M})=2$, el vector normal a $\pi''$: $\vec{n}_{\pi''}=(A'',B'',C'')$ es combinación lineal de los respectivos vectores normales a $\pi$ y $\pi'$: $(A,B,C)$ y $(A',B',C')$, esto es, $(A'',B'',C'')=\alpha\,(A,B,C)+\beta\,(A',B',C')$;$\,\alpha,\beta\in \mathbb{R}$, luego en esta situación tenemos un haz de planos cuya arista es la recta $r$

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Incidencia de rectas en $\mathbb{R}^3$

Sean dos rectas, $r:(P,\vec{u})$ y $s:(Q,\vec{v})$ en $\mathbb{R}^3$. Entonces:

• $r= s \Leftrightarrow \text{rango}(\vec{u},\vec{v},\overset{\rightarrow}{PQ})=1$
• $r \parallel s\, (\text{siendo}, r\neq s) \Leftrightarrow \text{rango}(\vec{u},\vec{v})=1$ y $\text{rango}(\vec{u},\overset{\rightarrow}{PQ})=2=\text{rango}(\vec{v},\overset{\rightarrow}{PQ})$
• $r$ y $s$ se cortan $\Leftrightarrow \text{rango}(\vec{u},\vec{v})=\text{rango}(\vec{u},\vec{v},\overset{\rightarrow}{PQ})=2$
• $r$ y $s$ se cruzan pero no se cortan $\Leftrightarrow \text{rango}(\vec{u},\vec{v},\overset{\rightarrow}{PQ})=3$

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Incidencias de dos planos en $\mathbb{R}^3$

Sean los planos $\pi:Ax+By+Cz+D=0$ y $\pi':A'x+B'y+C'z+D'=0$. El estudio de la incidencia de dichos planos lo podemos hacer a partir del análisis de rangos del sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}Ax+By+Cz+D=0 \\ A'x+B'y+C'z+D'=0\end{matrix}\right.$$ que en forma matricial podemos expresar como $$\begin{pmatrix}A&B&C\\A'&B'&C'\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}D\\D'\end{pmatrix}$$ Entonces, denotando por $M=\begin{pmatrix}A&B&C\\A'&B'&C'\end{pmatrix}$ a la matriz de los coeficientes y por $\tilde{M}=\left(\begin{array}{ccc|c}A&B&C&D\\A'&B'&C'&D'\end{array}\right)$ a la matriz ampliada de los coeficientes se tiene que:

• Si $\text{rango}(M)=\text{rango}(\tilde{M})=2$, la solución del sistema es una variedad lineal que tiene dimensión igual a $3-2=1$, luego corresponde a una recta; esto es, los dos planos se intersecan en una recta.
  • Nota: En el caso que tengamos infinitos planos intersecándose en una misma recta, hablamos de un haz de planos concurrentes. Pongamos que dos planos cualesquiera de dicho haz sean $\pi_1:\,A_1\,x+B_1\,y+C_1\,z+D_1=0$ y $\pi_2:\,A_2\,x+B_2\,y+C_2\,z+D_2=0$, entonces la ecuación de dicho haz viene dada por $\alpha\,(A_1\,x+B_1\,y+C_1\,z+D_1)+\beta\,(A_2\,x+B_2\,y+C_2\,z+D_2)=0\;\forall\,\alpha\,,\,\beta \in \mathbb{R}$
• Si $\text{rango}(M)=\text{rango}(\tilde{M})=1$, la solución del sistema es una variedad lineal que tiene dimensión igual a $3-1=2$, luego corresponde a un plano, al mismo plano que uno y otro; esto es, los dos planos son coincidentes
  • Nota: Veámoslo desde otro punto de vista: Consideremos dos planos cuyas determinaciones -dadas por un punto y dos vectores coplanarios independientes- respectivas sean $\sigma_1:(P_1,\vec{u}_1,\vec{v}_1)$ y $\sigma_2:(P_2,\vec{u}_2,\vec{v}_2)$, entonces $\sigma_1=\sigma_2$ si y sólo si existen escalares $a,b,c,d,e,f\in \mathbb{R}$ tales que $$\left\{\begin{matrix}\vec{u}_1=a\,\vec{u}_2+b\,\vec{v}_2 \\ \vec{v}_1=c\,\vec{u}_2+d\,\vec{v}_2\\ \overset{\rightarrow}{P_1\,P_2}=e\,\vec{u}_2+f\,\vec{v}_2\end{matrix}\right. $$
• Si $\text{rango}(M)=1$ y $\text{rango}(\tilde{M})=2$, el sistema es incompatible (teorea de Rouché-Fröbenius), esto es, no tiene solución; luego esta situación corresponde a dos planos paralelos no coincidentes
  • Nota: En el caso que tengamos infinitos planos paralelos, hablamos de un haz de planos paralelos. Pongamos que uno esos planos sea, por ejemplo, $\pi:\,A\,x+B\,y+C\,z+D_1=0$, entonces la ecuación de dicho haz de planos paralelos viene dada por $A\,x+B\,y+C\,z+\lambda=0\;\forall\,\lambda\,\in \mathbb{R}$

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Ecuación implícita de un plano

Sea $\pi$ un plano del espacio afín $\mathbb{R}^3$ que viene determinado por un punto $P(x_P,y_P,z_P)$ y dos vectores contenidos independientes en el plano $\pi$: $\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)$ y $\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$. Veamos cómo deducir las ecución vectorial, las ecuaciones cartesianas, y la ecuación implícita de dicho plano.

Consideremos un punto $X(x,y,t)$ genérico de $\pi$, entonces podemos encontrar dos escalares $\alpha,\beta\in \mathbb{R}$ tales que $\overset{\rightarrow}{PX}=\alpha\,\vec{u}+\beta\,\vec{v}$ y por tanto $\overset{\rightarrow}{OX}-\overset{\rightarrow}{OP}=\alpha\,\vec{u}+\beta\,\vec{v}$, que es la ecuación vectorial del plano, siendo $O$ el origen del sistema de referencia afín. Esto es, $\overset{\rightarrow}{OX}=\overset{\rightarrow}{OP}+\alpha\,\vec{u}+\beta\,\vec{v}$; y, de ahí, podemos escribir las ecuaciones paramétricas de $\pi$: $$\left\{\begin{matrix}x=x_P+\alpha\,u_1+\beta\,v_1 \\ y=y_P+\alpha\,u_2+\beta\,v_2 \\ z=z_P+\alpha\,u_3+\beta\,v_3\end{matrix}\right.$$

A partir de aquí, deduciremos la ecuación del plano en forma implícita: Teniendo en cuenta que el sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}\alpha\,u_1+\beta\,v_1 = x-x_P\\ \alpha\,u_2+\beta\,v_2 =y-y_P\\ \alpha\,u_3+\beta\,v_3=z-z_P\end{matrix}\right.$$ con incógnitas, $\alpha$ y $\beta$, es compatible y determinado deberá cumplirse (teorema de Rouché-Fröbenius) la igualdad de rangos entre la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada: $$\text{rango}\begin{pmatrix}u_1 & v_1\\ u_2 & v_2\\u_3 & v_3\end{pmatrix}=\text{rango}\left(\begin{array}{cc|c}u_1 & v_1 & x-x_P\\u_2 & v_2 & y-y_P\\u_3 & v_3 & z-z_P\end{array}\right)=2 \Leftrightarrow \begin{vmatrix}u_1 & v_1 & x-x_P \\ u_2 & v_2 & y-y_P \\u_3 & v_3 & z-z_P\end{vmatrix}=0$$ y, desarrollando el determinante por los elementos de la tercera columna, se obtiene: $$\begin{vmatrix}u_2&v_2\\u_3&v_3\end{vmatrix}\,(x-x_P)+(-1)\cdot \begin{vmatrix}u_1&v_1\\u_3&v_3\end{vmatrix}\,(y-y_P)+\begin{vmatrix}u_1&v_1\\u_2&v_2\end{vmatrix}\,(z-z_P)=0$$ Denotando (por comodidad) $A=\begin{vmatrix}u_2&v_2\\u_3&v_3\end{vmatrix}$, $B=-\begin{vmatrix}u_1&v_1\\u_3&v_3\end{vmatrix}$ y $C=\begin{vmatrix}u_1&v_1\\u_2&v_2\end{vmatrix}$,
$$A\,(x-x_P)+B\,(y-y_P)+C\,(z-z_P)=0$$ o lo que es lo mismo: $$A\,x+B\,y+C\,z+\left(-A\,x_P-B\,y_P-C\,z_P \right)=0$$ y denotando $D=-(A\,x_P+B\,y_P+C\,z_P)$, llegamos a la ecuación del plano en forma implícita:
$$\pi:\,A\,x+B\,y+C\,z+D=0 \quad (1)$$

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Sea ahora $\pi$ un plano del espacio afín $\mathbb{R}^3$ que viene determinado por tres puntos del mismo $P(x_P,y_P,z_P)$, $Q(x_Q,y_Q,z_Q)$ y $R(x_R,y_R,z_R)$ :

Consideremos, como en el caso anterior, un punto $X(x,y,t)$ genérico de $\pi$, entonces podemos encontrar dos escalares $\alpha,\beta\in \mathbb{R}$ tales que $\overset{\rightarrow}{PX}=\alpha\,\overset{\rightarrow}{PQ}+\beta\,\overset{\rightarrow}{PR}$ y por tanto $\overset{\rightarrow}{OX}-\overset{\rightarrow}{OP}=\alpha\,\overset{\rightarrow}{PQ}+\beta\,\overset{\rightarrow}{PR}$, que es la ecuación vectorial del plano, siendo $O$ el origen del sistema de referencia afín. De ahí, podemos escribir las ecuaciones paramétricas de $\pi$: $$\left\{\begin{matrix}x-x_P=\alpha\,(x_Q-x_P)+\beta\,(x_R-x_P) \\ y-y_P=\alpha\,(y_Q-y_P)+\beta\,(y_Q-y_P) \\ z-z_P=\alpha\,(z_Q-z_P)+\beta\,(z_R-z_P)\end{matrix}\right.$$

Entendiendo lo anterior como un sistema de ecuaciones lineales cuyas incógnitas son $\alpha$ y $\beta$: $$\left\{\begin{matrix}\alpha\,(x_Q-x_P)+\beta\,(x_R-x_P)=x-x_P \\ \alpha\,(y_Q-y_P)+\beta\,(y_Q-y_P)=y-y_P \\ \alpha\,(z_Q-z_P)+\beta\,(z_R-z_P)=z-z_P\end{matrix}\right.$$

A partir de aquí, deduciremos la ecuación del plano en forma implícita, teniendo en cuenta que el sistema de ecuaciones lineales, con incógnitas, $\alpha$ y $\beta$, es compatible y determinado deberá cumplirse (teorema de Rouché-Fröbenius) la igualdad de rangos entre la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada:
$\text{rango}\begin{pmatrix}x_Q-x_P & x_R-x_P\\ y_Q-y_P & y_R-y_P\\z_Q-z_P & z_R-z_P\end{pmatrix}=\text{rango}\left(\begin{array}{cc|c}x_Q-x_P & x_R-x_P & x-x_P\\y_Q-y_P & y_R-y_P & y-y_P\\z_Q-z_P & z_R-z_P & z-z_P\end{array}\right)=2 \Leftrightarrow$ $$\begin{vmatrix}x_Q-x_P & x_R-x_P & x-x_P\\y_Q-y_P & y_R-y_P & y-y_P\\z_Q-z_P & z_R-z_P & z-z_P\end{vmatrix}=0 \quad (2)$$ que nos lleva a la misma ecuación que la descrita en (1): $$Ax+By+Cz+D=0$$ En algunos libros, podemos ver la ecuación (2), que como se acaba de notar es lo mismo que (1), escrita de manera equivalente como el determinante de orden $4$:
$\begin{vmatrix}1&0&0&0\\x_P&x_Q-x_P & x_R-x_P & x-x_P\\y_P& y_Q-y_P & y_R-y_P & y-y_P\\ z_P & z_Q-z_P & z_R-z_P & z-z_P \end{vmatrix}\overset{c_1+c_2\rightarrow\,c_2\\c_1+c_3\rightarrow\,c_3\\c_1+c_4\rightarrow\,c_4 }{=}$
$$\pi:\,\begin{vmatrix}1&1&1&1\\x_P&x_Q&x_R&x \\y_P&y_Q&y_R&y\\z_P&z_Q&z_R&z \end{vmatrix}=0$$

-***-

Observación:
Acabamos de ver el procedimiento para obtener la ecuación implícita (y también la vectorial) de un plano determinado por un punto del mismo, $P$, y dos vectores independientes del mismo, $\vec{u}$ y $\vec{v}$, determinación que podemos notar de la forma $\pi:(P,\vec{u},\vec{v})$. Sin embargo, en algunas ocasiones, quizá tengamos como datos una información equivalente, como, por ejemplo, un vector del plano: i) tres puntos del mismo, ii) un vector y dos puntos, iii) una recta del plano -determinada por un punto de la misma y un vector director de la misma- y un punto, también del plano, exterior a la recta. En cualquiera de los casos, podemos reducirlo a lo expuesto en este artículo (un punto y dos vectores). Veamos cómo hacerlo, pongamos que en el caso (iii):

Consideremos una recta de dicho plano $\pi$ determinada por un vector director y un punto $R$ de la misma $r_{\pi}:(\vec{w}_r,R)$; y, además, un punto $S$ de $\pi$ exterior a $r_{\pi}$. Pues bien, entonces, una determinación de con dos vectores y un punto del mismo es $\pi:(R,\vec{w},\overset{\rightarrow}{RS})$, y, a partir de ella, ya podemos proceder tal como se ha explicado.

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Ecuación de una recta del espacio afín $\mathbb{R}^3$ en forma continua

Sea $r$ una recta del espacio afín $\mathbb{R}^3$ determinada por un punto $P(x_P,y_P,z_P)$ y un vector $\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$. Vamos a deducir la ecuación de dicha recta en forma continua

Consideremos un punto $X(x,y,t)$ genérico de $r$, entonces $$\text{rango}\,\begin{pmatrix}v_1\\ v_2\\ v_3\end{pmatrix}=\text{rango}\,\begin{pmatrix}v_1 &x-x_P \\ v_2 &y-y_P \\ v_3 &z-z_P \end{pmatrix}=1 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\begin{vmatrix}v_1 & x-x_P \\ v_2 & y -y_P\end{vmatrix}=0 \Rightarrow \dfrac{x-x_P}{v_1} = \dfrac{y-y_P}{v_2} \\ \\ \begin{vmatrix}v_2 & y-y_P \\ v_3 & z -z_P\end{vmatrix}=0 \Rightarrow \dfrac{y-y_P}{v_1} = \dfrac{z-z_P}{v_3} \end{matrix}\right.$$ pudiendo escribir por tanto la ecuación (en forma continua) de la recta como $$r:\,\dfrac{x-x_P}{v_1} = \dfrac{y-y_P}{v_2}=\dfrac{z-z_P}{v_3}$$ $\diamond$

La estructura de A-módulo

Mediante el concepto de estructura de A-módulo se extiende el de espacio vectorial (e.v.). Recordemos que un e.v. se define sobre un cuerpo. Pues bien, un A-módulo es muy parecido (se cumplen las mismas propiedades), con la salvedad de que en vez de definirse sobre un cuerpo se define sobre un anillo. El concepto de A-módulo permite así desarrollar, por ejemplo, el álgebra de tensores.

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Solución genérica al problema de valor inicial de una EDO lineal de primer orden

Consideremos la ecuación diferencial lineal de primer orden no homogénea $$y'+P(x)\,y=Q(x)$$ siendo $P$ y $Q$ funciones continuas en un intervalo abierto $I$ de $\mathbb{R}$. Consideremos ahora un punto $a\in I$ y un número real cualquiera $b$. Entonces (teorema) existe una única función $y=f(x)$ que satisface la condición inicial $f(a)=b$, y es la siguiente: $$f(x)=b\,e^{-A(x)}+e^{-A(x)}\,\int_{a}^{x}\,Q(t)\,e^{A(t)}\,dt,\quad \text{donde}\; A(x)=\int_{a}^{x}\,P(t)\,dt$$ Nota. Véase la siguiente referencia en la que hay una demostración de este teorema: Tom M. Apostol, Calculus I (p. 377-382), Reverté, Barcelona, 2009.

Veamos un ejemplo muy sencillo, en el que encontraremos todas las soluciones de la EDO lineal de primer orden, tomando por ejemplo $a=1$ en la condición inicial $f(a)=b$, esto es $f(1)=b$: $$y'+y=x$$ En este caso, $P(x)=1$ y $Q(x)=x$. Entonces, $A(x)=\int_{1}^{x}\,1\cdot dt = x-1$, con lo cual $e^{-A(x)}=e^{-(x-1)}$ y $e^{A(t)}=e^{t-1}$; y, de acuerdo con el resultado expuesto, se tiene que $$f(x)=b\,e^{-(x-1)}+e^{-(x-1)}\,\int_{1}^{x}\,t\,e^{t-1}\,dt$$ esto es, $$f(x)=b\,e^{-(x-1)}+e^{-(x-1)}\,\left[ e^{t-1}\,(t-1) \right]_{1}^{x}=b\,e^{-(x-1)}+e^{-(x-1)}\,\left(e^{x-1}\,(x-1) \right)=b\,e^{-(x-1)}+x-1$$ dicho de otro modo, $y=b\,e^{-(x-1)}+x-1$ es la solución general de la ecuación diferencial lineal de primer orden no homogénea propuesta, que puede escribirse de la forma $y=b\,e^{-x}\,e^1+x-1$, es decir, $y=b\cdot e\,e^{-x}+x-1$, donde $b\cdot e$ puede entenderse como la correspondiente constante de integración, a la que denominaremos $C$. Esto es, la solución general es $$y=C\,e^{-x}+x-1$$

Observación: Puede comprobarse que, sustituyendo este resultado en la ecuación diferencial, $y'+y=x$, el primer miembro de la misma resulta igual al segundo, como debe ser. $\diamond$

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Comentario: Otra manera de llegar a la solución consiste en tener en cuenta que la solución general es la suma de la solución de la ecuación homogénea, $y'+y=0$, y de una solución particular (que denotaremos por $\tilde{y}$), y que, como el el segundo miembro de la EDO no homogénea es $x$ (un término polinómico de grado $1$), postulamos que la solución particular tiene también la forma de un polinomio de grado uno, $\tilde{y}=\alpha\,x+\beta \quad (2)$, con lo cual $\tilde{y}'=\alpha$. Entonces, como dicha solución ha de verificar la ecuación diferencial $(1)$, vemos que $\alpha + (\alpha\,x+\beta)=x \Leftrightarrow \alpha=1 \quad y \quad \beta=-1$, con lo cual $\hat{y}=x-1$. Por otra parte, fácilmente se ve que la solución de la ecuación homogénea $y'+y=0$ es $y=C\,e^{-x}$, donde $C$ es la constante de integración. Entonces, para acabar, sabemos que la solución general viene dada por la suma de la solución de la e. homogénea y y de la solución particular, de ahí que encontremos también así el resultado ya visto antes a partir del teorema al que nos referíamos: $$y=Ce^{-x}+(x-1)$$ $\diamond$

Expresión de una ecuación diferenciales ordinaria de orden superior a uno mediante un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de orden uno

Dada una EDO lineal de orden superior a uno, ésta puede reducirse a un sistema de EDOs lineales de orden uno. De esta manera, es posible abordar el problema de la existencia y unicidad de solución (dadas las correspondientes condicions iniciales) partiendo del problema ya resueldo de la existencia y unicidad para EDOs lineales de orden superior de primer orden.

Ejemplo de introducción:
Consideremos la EDO de orden 2 $$y''+y'+y=x+1 \quad (1)$$ donde $y$ depende de $x$

Pues bien, denotemos $y$ por $y_1$, con lo cual $y_1'=y'$; y, $y_1'$ por $y_2$, por lo que $y_2'=y''$, entonces (1) puede expresarse mediante el siguiente sistem de EDOs de primer orden: $$\left\{\begin{matrix}y_1'&=&y_2 \\ y_2'+y_2+y_1&=&x+1\end{matrix}\right.$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}y_1'&=&y_2 \\ y_2'&=&-y_1-y_2+x+1\end{matrix}\right.$$ que podemos expresar también en forma matricial: $$\begin{pmatrix}y_1'\\y_2'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\ -1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\x+1\end{pmatrix}$$ y al que podemos referirnos de una manera más cómoda escribiendo $$Y'=P\,Y+Q\quad (2)$$ El problema de resolver el sistema de ecuaciones se traduce en encontrar una función vectorial $Y$ que satisfaga la ecuación matricial $(2)$ con la condición inicial $Y(a)=B$, donde $a\in J\subset \mathbb{R}$ y $B$ es un vector $(b_1,b_2)^\top$ que nos viene dado.

En el caso de que el sistema de ecuaciones constase de una sola ecuación diferencial, sabemos que, siendo ésta del tipo lineal y (en general) no homogénea, , $y'+P(x)\,y=Q(x)$, la solución viene dada por $$y(x)=e^{-A(x)}\,Y(a)+e^{-A(x)}\,\int_{a}^{x}\,e^{A(t)}\,Q(t)\,dt$$ donde $A(x)=\int_{a}^{t}\,P(t)\,dt$ y $a$ es un punto cualquiera del intervalo $J$ de continuidad de las funciones del problema. Pues bien, resulta que este resultado se generaliza (teoremas) para una ecuación diferencial con matrices como las que aparecen en el sistema de ecuaciones que hemos planteado, siendo dicha solución de la forma $(2)$.

Entramos así en el interesante problema de tener que calcular integrales con matrices, el cual, poco a poco, iremos desarrollando.

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Raíz n-ésima de un número complejo

Recordemos que los $n$ números complejos que son solución de $\sqrt[n]{z}$, donde $z=s\,e^{i\,\beta}$, tienen la forma $w_k =\sqrt[n]{s}\,e^{i\,\dfrac{\beta+2\,\pi\cdot k}{n}}\;,k=0,1,\ldots,n-1$

Ejemplo: ¿$\sqrt[4]{16\,i}$? El argumento de la raíz cuaddrada es $z=16\,i=2^4\,e^{i\,\frac{\pi}{2}}$, entonces $s=2^4$ y $\beta=\dfrac{\pi}{2}$, con lo cual la solución está formada por cuatro valores (complejos), puesto que el índice del radical es $4$ $$w_k=\sqrt[4]{2^4}\;e^{i\,\dfrac{\frac{\pi}{2}+2\,\pi \cdot k}{4}}\;; k=0,1,2,3$$ esto es, $$\displaystyle \left\{ \begin{matrix} w_0=2\,e^{i\,\frac{1}{8}\,\pi}\\ w_1=2\,e^{i\,\frac{5}{8}\,\pi} \\ w_2=2\,e^{i\,\frac{9}{8}\,\pi} \\ w_3=2\,e^{i\,\frac{13}{8}\,\pi} \end{matrix} \right.$$ $\diamond$

Algunos cálculos rutinarios de raíces de números complejos

1. ¿$\sqrt{1-i}$? El argumento de la raíz cuaddrada es $1-i=\sqrt{2}\,e^{-i\,\frac{\pi}{4}}$, entonces $s=\sqrt{2}$ y $\beta=\dfrac{\pi}{4}$, con lo cual la solución viene dada por dos valores (el índice del radical es $2$) $$w_k=\sqrt{s}\;e^{i\,\dfrac{\beta+2\,\pi \cdot k}{2}}\;; k=0,1$$ esto es, $\displaystyle \left\{\begin{matrix} w_0=\sqrt{\sqrt{2}}\,e^{\frac{i\,(-\frac{\pi}{4}+2\,\pi \cdot 0)}{2}}=2^{1/4}\,e^{-i\,\pi/8}\\ w_1=\sqrt{\sqrt{2}}\,e^{\frac{i\,(-\frac{\pi}{4}+2\,\pi \cdot 1)}{2}}=2^{1/4}\,e^{i\,\frac{7}{8}\,\pi}\end{matrix}\right.$
2. ¿$\sqrt[3]{-8}$? El argumento de la raíz cúbica es $-8=8\,e^{i\,\pi}$, luego $s=8$ y $\beta=\pi$, por lo tanto la solución consta de tres valores (el índice del radical es $3$): $$w_k=\sqrt[3]{s}\;e^{i\,\dfrac{\beta+2\,\pi \cdot k}{3}}\;; k=0,1,2$$ es decir, $\displaystyle \left\{\begin{matrix} w_0=\sqrt[3]{8}\,e^{\frac{i\,(-\frac{\pi}{3}+2\,\pi \cdot 0)}{2}}=2\,e^{i\,\frac{\pi}{3}}\\ w_1=\sqrt[3]{8}\,e^{\frac{i\,(-\frac{\pi}{3}+2\,\pi \cdot 1)}{2}}=2\,e^{i\,\pi}\\ w_2=\sqrt[3]{8}\,e^{\frac{i\,(-\frac{\pi}{3}+2\,\pi \cdot 2)}{2}}=2\,e^{i\,\frac{5}{3}\,\pi}\end{matrix}\right.$

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Obtención de una base ortogonal de $\mathbb{R}^3$ a partir de una base cualquiera de dicho espacio mediante el procedimiento de Gram-Schmidt

Consideremos una base no ortogonal de $\mathbb{R}^3$: $\mathcal{B}=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\}$. Para obtener una base ortogonal, $\mathcal{O}=\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}$ a partir de los vectores de $\mathcal{B}$ recurrimos a la siguiente propiedad: dados dos vectores cualesquiera, pongmamos que $\vec{v}_1$ y $\vec{v}_2$ la diferencia entre el vector $\vec{v}_2$ y el vector proyección de $\vec{v}_1$ sobre $\vec{v}_1$ es un vector perpendicular a $\vec{v}_1$. Por otra parte, para encontrar el tercer vector de la base ortogonal que buscamos, éste tendrá que ser perpendicular al plano al que pertenecen los dos primeros vectores de la base ortogonal que hayamos encontrado, por lo tanto aplicaremos la propiedad referida al tercer vector en relación al primero y también al segundo. Es proceso se conoce como ortogonalización de Gram-Schmidt.

Nota: Otra manera de obtener el tercer vector de la base ortogonal a partir de los dos primeros es a partir del producto vectorial de los dos primeros, pues este vector, como es sabido, es perpendicular al plano al que pertenecen los dos primeros, y por tanto es perpendicular a uno y otro.

Discribámoslo paso a paso:

1. El primer $\mathcal{B}$ lo consideraremos el primer vector de $\mathcal{O}$ (si bien podemos tomar cualquiera de los otros dos): $\vec{e}_1:=\vec{v}_1$
2. El segundo vector de $\mathcal{O}$ vendrá dado entonces por $$\vec{e}_2=\vec{v}_2-\overset{\rightarrow}{\text{proy}}_{\vec{e}_1}\,(\vec{v}_2)$$ luego
   $\vec{e}_2=\vec{v}_2- \langle\vec{v_2}\,,\,\dfrac{\vec{e}_1}{\left\| \vec{e}_1\right\|}\rangle\,\dfrac{\vec{e}_1}{\left\|\vec{e}_1\right\|}$
     $=\vec{v}_2- \langle\vec{v_2}\,,\,\vec{e}_1 \rangle\,\dfrac{\vec{e}_1}{\left\|\vec{e}_1\right\|^2}$
       $=\vec{v}_2- \langle\vec{v_2}\,,\,\vec{e}_1 \rangle\,\dfrac{\vec{e}_1}{\langle\vec{e}_1\,,\,\vec{e}_1\rangle}$
         $=\vec{v}_2- \dfrac{\langle\vec{v_2}\,,\,\vec{e}_1 \rangle}{\langle\vec{e_1}\,,\,\vec{e}_1 \rangle} \,\vec{e}_1$
3. El tercer vector de $\mathcal{O}$ vendrá dado por $$\vec{e}_3=\vec{v}_3-\overset{\rightarrow}{\text{proy}}_{\vec{e}_1}\,(\vec{v}_3)-\overset{\rightarrow}{\text{proy}}_{\vec{e}_2}\,(\vec{v}_3)$$ luego
   $$\vec{e}_3=\vec{v}_3- \dfrac{\langle\vec{v_3}\,,\,\vec{e}_1 \rangle}{\langle\vec{e_1}\,,\,\vec{e}_1 \rangle} \,\vec{e}_1-\dfrac{\langle\vec{v_3}\,,\,\vec{e}_2 \rangle}{\langle\vec{e_2}\,,\,\vec{e}_2 \rangle} \,\vec{e}_2$$

Ejemplo:
Consideremos la base no ortogonal formada por los vectores $\vec{v}_1=(1,1,1)$, $\vec{v}_2=(1,-1,1)$ y $\vec{v}_3=(-1,1,1)$. Entonces,

1. $\vec{e}_1:=\vec{v}_1=(1,1,1)$
2. $\vec{e}_2=(1,-1,1)-\dfrac{\langle (1,-1,1)\,,\,(1,1,1) \rangle}{\langle (1,1,1)\,,\,(1,1,1)\rangle}\,(1,1,1)=(1,-1,1)-\dfrac{1}{3}\,(1,1,1)=(\frac{2}{3},-\frac{4}{3},\frac{2}{3})$
3. $\vec{e}_3=(-1,1,1)-\dfrac{\langle (-1,1,1)\,,\,(1,1,1) \rangle}{\langle (1,1,1)\,,\,(1,1,1)\rangle}\,(1,1,1)-\dfrac{\langle (-1,1,1)\,,\, (\frac{2}{3},-\frac{4}{3},\frac{2}{3}) \rangle}{\langle (\frac{2}{3},-\frac{4}{3},\frac{2}{3})\,,\,(\frac{2}{3},-\frac{4}{3},\frac{2}{3})\rangle}\,(\frac{2}{3},-\frac{4}{3},\frac{2}{3})$
     $=(-1,0,1)$

Así pues, un base ortogonal a partir de la base dada es $$\mathcal{O}=\{(1,1,1)\,,\,(\frac{2}{3},-\frac{4}{3},\frac{2}{3})\,,\,(-1,0,1)\}$$
Puede comprobarse que estos tres vectores son perpendiculares entre sí, verificando que los productos escalares de cada uno de ellos con los otros dos son nulos: $\langle (1,1,1)\,,\,(\frac{2}{3},-\frac{4}{3},\frac{2}{3})\rangle =0$,$\langle (1,1,1)\,,\,(-1,0,1)\rangle =0$ y $\langle (\frac{2}{3},-\frac{4}{3},\frac{2}{3})\,,\,(-1,0,1)\rangle =0$

Observación:
Para obtener una base ortonormal a partir de la base ortogonal que hemos encontrado, basta dividir cada uno de dichos vectores por el correspondiente módulo: $$\mathcal{E}=\{\dfrac{\vec{e}_1}{\sqrt{\langle \vec{e}_1\,,\,\vec{e}_1\rangle}}\,,\, \dfrac{\vec{e}_2}{\sqrt{\langle \vec{e}_2\,,\,\vec{e}_e\rangle}}\,,\,\dfrac{\vec{e}_3}{\sqrt{\langle \vec{e}_3\,,\,\vec{e}_3\rangle}}\}$$ Así, para el ejemplo expuesto, $$\mathcal{E}=\{(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})\,,\,(\frac{4\,\sqrt{6}}{9},-\frac{8\,\sqrt{6}}{9},\frac{4\,\sqrt{6}}{9}) \,,\,(-\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}})\}$$

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