Humildes geranios

Altafulla, primavera de 2022 $\diamond$

Acerca de la constante de Euler-Mascheroni

Hace un par de días, leí un artículo de Wikipedia acerca de la misteriosa constante de Euler-Mascheroni (véase [1]) que me sorprendió, pues desconocía su existencia —a la fecha, se desconoce si es un número trascendente o algebraico, y tampoco se sabe si es racional o irracional—, que relaciona la serie armónica y el logaritmo natural, además de con una integral impropia de primera especie en cuyo integrando aparece la función piso: $$\displaystyle \gamma = \lim_{n\rightarrow \infty}\,\sum_{k=1}^{n}\,\left(\dfrac{1}{k}-\ln(n)\right)=\int_{1}^{\infty}\,\left( \dfrac{1}{\left \lfloor x \right \rfloor} - \dfrac{1}{x}\right)\,dx = -\int_{0}^{\infty}\,\dfrac{\ln(x)}{e^x}\,dx \approx 0,\,57721\,56649\,01532\,\ldots$$ Esta constante nos la podemos encontrar en el cálculo de algunas integrales impropias en las que intervenga la función piso. Aparece conectada con muchas objetos matemáticos, como es el caso de la función Gamma, la función zeta de Riemann, la transformada de Laplace del logaritmo natural, entre otros muchos y diversos. Ciertamente, sorprendente y muy interesante. $\diamond$

-oOo-

Lecturas recomendadas para profundizar un poco:
  [1] https://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Euler-Mascheroni
  [2] https://www.gaussianos.com/la-constante-de-euler-mascheroni/

Fotografía matemática compulsiva: matrices y submatrices

$\diamond$

Divisors d'un nombre enter no negatiu. Un exercici de programació amb l'eina GNU MAXIMA

    Si us agrada programar una mica és un bon exercici escriure una senzilla línia d'instruccions amb MAXIMA per escriure la llista de nombres divisors d'un nombre enter no negatiu donat:
    (%i1) for i:1 thru 30 do (if mod(30,i)=0 then print(i));
Obtindrem ràpidament tots el divisors: {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
Potser convindreu que no té molt d'interès perquè, de fet, el nombre que hem posat és molt petit. Ara bé, i si fos, posem pel cas, 1452 ? Deu n'hi do de la feinada que tindrem si ho fem amb paper i llapis, fins i tot, fent-ho d'una manera exhaustiva amb l'ajut d'un diagrama d'arbre tal com vaig explicar en un article anterior. Modificant la dada, obtindrem el resultat amb un dit i fet
    (%i2) for i:1 thru 1452 do (if mod(1452,i)=0 then print(i));
... 1 2 3 4 6 11 12 22 33 44 66 121 132 242 363 484 726 1452

I encara molt millor si escrivim una funció amb un paràmetre d'entrada per no haver d'escriure cada vegada la instrucció repetitiva:

    (%i3) troba_divisors(n):=(
for i:1 thru n do (if mod(n,i)=0 then print(i))
)$


Funció que farem servir concretant el nombre del qual volem trobar els divisors:

    (%i4) troba_divisors(235456);

Aquest és el resultat del càlcul:
1 2 4 8 13 16 26 32 52 64 104 208 283 416 566 832 1132 2264 3679 4528 7358 9056 14716 18112 29432 58864 117728 235456

Val a dir, però, que MAXIMA disposa ja d'una funció predefinida divisors(). No cal programar-ne un altra. El que m'ha mogut a escriure-la és només per exposar un exercici elemental de programació. La funció predefinida és més eficaç que la que he escrit perquè l'algorisme emprat per MAXIMA és molt millor. Comproveu-ho. Us adonareu que el resultat amb la funció divisors() s'obté molt més ràpidament i, a més, estructurat com una llista:


    (%i5) divisors(235456);

    (%o5){1,2,4,8,13,16,26,32,52,64,104,208,283,416,566,832,
1132,2264,3679,4528,7358,9056,14716,18112,29432,58864,117728,235456}
$\diamond$

La identidad de Bézout

El lema de Bézout

Un resultado básico relacionado con el máximo común divisor de dos números (enteros), distintos de cero, $a,b$ —y lo notaremos de la forma $(a,b)$—, es la denominada identidad de Bezout (lema de Bezout), que dice así:

  Sea $\mathbb{Z} \ni d=(a,b)$, entonces existen dos números enteros $x,y$, no necesariamente únicos, tales que $d=ax+by \quad \quad (1)$.

Ejemplo. Consideremos los números enteros $2$ y $4$. El máximo común divisor de estos dos números es $d=2$, luego, según el lema de Bézout, existen (infinitas) parejas de números $x$ e $y$, tales que $2=2x+4y$. Nos proponemos encontrar cómo son estas infinitas parejas de números $x,y$.

En un caso general, consideremos dos soluciones particulares $x_1,y_1$ y $x_2,y_2$ de la ecuación $d=ax+by$, y que por tanto se sastisfaga $d=a\,x_1+b\,y_1$ y $d=a\,x_2+b\,y_2$. Entonces, como la estructura algebraica que liga los otros infinitos pares de valores es lineal, estas parejas de números enteros están alineadas en una recta cuyas ecuaciones paramétricas son $\left\{\begin{matrix}x-x_1 = \lambda\,(x_2-x_1)\\y-y_1=\lambda\,(y_2-y_1)\end{matrix}\right.\,; \lambda\in \mathbb{Z}$, o, dicho de otro modo, la solución general vendrá dada por $$\left\{\begin{matrix}x=x_1+ \lambda\,(x_2-x_1)\\y=y_1+\lambda\,(y_2-y_1)\end{matrix}\right.\,; \lambda\in \mathbb{Z}\quad \quad (2)$$ donde $x_2-x_1$ e $y_2-y_1$ son, desde luego, números enteros.

Se puede comprobar sin dificultad que, para toda solución particular$x_p,y_p$ de (1), entonces $x_p+kb$ e $y_p-ka$, para cualquier $k\in \mathbb{R}$, también constituye otra solución particular de la misma ecuación; en efecto $a\,(x_p+kb)+b\,(y_p-ka) = a\,x_p+kab+b\,y_p-kab=a\,x_p+b\,y_p$, y, por tanto, $a\,(x_p+kb)+b\,(y_p-ka)=d$. Entonces, podemos escoger los números enteros $x_2-x_1$ e $y_2-y_1$ de los segundos términos de los respectivos segundos miembros de (2) de la forma $x_2-x_1:=\dfrac{b}{d}$ e $y_2-y_1:=-\dfrac{a}{d}$, habida cuenta de que $\dfrac{b}{d} \in \mathbb{Z}$ y $\dfrac{a}{d}\in \mathbb{Z}$ por ser $d=(a,b)$. Así las cosas, podemos escribir las ecuaciones paramétricas (2) de la forma: $$\left\{\begin{matrix} x=x_1+\lambda\,\dfrac{b}{d} \\y=y_1-\lambda\,\dfrac{a}{d} \end{matrix}\right.\,;\lambda\in \mathbb{Z} $$

Resolvamos ahora el ejemplo concreto que nos hemos planteado. Fácilmente, vemos que una solución particular es $x_1=-1$, $y_1=1$ —en efecto, comprobamos que para estos valores de $x$ e $y$ se satisface (1): $2=2\cdot (-1)+4\cdot 1$—, con lo cual, y según lo que hemos razonado arriba, se tiene que $$\left\{\begin{matrix}x=-1+\dfrac{4}{2}\,\lambda\\y=1-\dfrac{2}{2}\,\lambda\end{matrix}\right.\,; \lambda \in \mathbb{Z}$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}x=-1+2\,\lambda\\y=1-\lambda\end{matrix}\right.\,; \lambda \in \mathbb{Z}$$ Podemos pues encontrar los infinitos pares de valores $x$ e $y$ que son solución de (1) asignando valores arbitraios al parámetro entero $\lambda$. Así, para $\lambda=0$ se obtiene la solución particular de la que hemos partido: $x=-1$ e $y=1$; para $\lambda=1$, $x=1$ e $y=0$; para $\lambda=2$, $x=3$ e $y=-1$; para $\lambda=-1$, $x=-3$ e $y=2$; para $\lambda=-2$, $x=-5$ e $y=3$, etcétera.

Ecuaciones diofánticas lineales

Una utilidad muy importante de la identidad de Bézout es la de formar parte del proceso de resolución de una ecuación diofántica lineal, $cx+dy=k$, con $c,d,k\in \mathbb{Z}$, para encontrar la solución general, a partir de una solución particular, se procede de una forma muy parecida a la que estamos empleando para encontrar las parejas de valores $x,y$ de la igualdad de Bézout, y lo expongo en este otro artículo (de este mismo cuaderno), mediante un ejemplo práctico.$\diamond$

Un sencillo ejercicio sobre bases de numeración

En este sencillo ejercicio, expresaremos $16$ (dado en base $10$) en base $3$.

El conjunto de números con el que debemos expresar una cierta cantidad en base $3$ es $\{0,1,2\}$. Vamos a expresar $16$ en serie de potencias de base $3$. Hecho esto, sabemos que la secuencia de los coeficientes de las potencias (ceros, unos y doses), escritos en el orden de mayor a menor grado del término a que corresponda será la expresión pedida.

Empecemos pues dividiendo $16$ entre $3$. Se obtiene cociente igual a $5$ y resto igual a $1$, por lo que, por el teorema de la división euclídea (t.d.e.), podemos escribir $16=5\cdot 3+1 \quad \quad (1)$; por otra parte, al dividir $5$ entre $3$, obtenemos cociente igual a $1$ y resto igual a $2$, luego por el t.d.e, $5=3\cdot 1+2$, que, sustituido en (1), permite escribir $16=(3\cdot 1+2)\cdot 3+1=3^2+2\cdot 3+1=1\cdot 3^2+2\cdot 3^1+1\cdot 3^0$. En consecuencia, $$16_{10}=121_{3}$$ $\diamond$

La función indicatriz de Euler, el teorema de Euler-Fermat y el pequeño teorema de Fermat

La función indicatriz de Euler

La función indicatriz de Euler es muy importante en teoría de números. La función indicatriz de Euler de un número entero positivo $m$, y se escribe $\varphi(m)$, proporciona el número de números enteros positivos, menores o iguales que $m$, que son coprimos con $m$. En el lenguaje matemático: $\varphi(m):=\text{cardinal}\left(\{n\in \mathbb{N}: (1\le n \le m) \wedge \text{m.c.d.}(m,n)=1\}\right)$. Se demuestra que dicha cantidad es igual a $\displaystyle \varphi(m):=m\,\prod_{p_i|m}\,\left(1-\dfrac{1}{p_i}\right)$; siendo $\{p_i\}$, el conjunto de números primos que dividen a $m$. Así, por ejemplo $\varphi(9)=9\cdot \left(1-\dfrac{1}{3}\right)=9\cdot \dfrac{2}{3}=6$; en efecto, el conjunto de números naturales que cumplen la condición requerida es $\{1,2,4,5,7,8\}$, y, claro está que $\text{cardinal}\left(\{1,2,4,5,7,8\}\right)=6$

El teorema de Euler-Fermat

La función indicatriz de Euler-Fermat aparece por ejemplo en el teorema de Euler-Fermat: Si $a,m \in \mathbb{N}$ son primos relativos, esto es, $\text{m.c.d.}(a,m)=1)$, entonces $a$ es congruente con $1$ módulo $m$: $a^{\varphi(m)} \equiv 1 (\text{mod}\, m)$, y es de gran importancia en el cálculo de congruencias.

El pequeño teorema de Fermat

El teorema de Euler-Fermat generaliza el pequeño teorema de Fermat. El pequeño teorema de Fermat dice así: dado un número $p$, primo, y un número entero $a$, siendo $a$ y $p$ coprimos, esto es $\text{m.c.d.}(a,p)=1$, entonces $a^{p-1}\equiv 1 (\text{mod}\, p)$, afirmación que es equivalente a $a^p ≡ a (\text{mod}\, p)$. Por ejemplo, si $p=3$ y $a=4$, se tiene que el residuo de la división euclídea de $a^p=4^{3-1}=16$ entre $3$ es $1$, como debe ser; esto es, el residuo de la división $4^3=64$ entre $3$ es igual a $4$.

-oOo-

Observación. Una consecuencia de este teorema es la siguiente: Como al dividir $a^{p-1}$ entre $p$ se obtiene resto igual a $1$, existe un $k\in \mathbb{Z}$ para el cual $a^{p-1}=k\, p +1$, multiplicando por $a$ en cada miembro de la igualdad, se tiene que $a^{p}= k \,p \,a + a$, luego $a^{p} - a$ es múltiplo de $p$ puesto que $k\,a$ és también un número entero.

Ejemplo. Sea $a=9$ y $p=2$ (primo), siendo $(9,2)=1$ y cumpliéndose así las condiciones suficientes del teorema. Comprabamos, en efecto, que $a^p=9^2=81 \mod 2 = 1$, coincidiendo con $a=9 \mod 2 =1$; y, además, $a^p-a \in (\overset{.}{p})$ pues $81-8=72 \in (\overset{.}{2})$.

$\diamond$

Nociones básicas de aritmética modular. Congruencias

La operación módulo, para dos números enteros $a$ y $b$, se define como $a \mod b := \text{residuo}( a \div b)$, entendiendo la división como la división euclídea: dados $a\in \mathbb{Z}$ y $\mathbb{Z}\ni b\neq 0$, entonces $\exists!\,q,r\in \mathbb{Z}$ tales que $a=b\cdot q+r \wedge 0\le r \lt |b|$ . Así por ejemplo, $15 \mod 7 =1$, ya que $8=7\cdot 2+1$; $-6 \mod 7 = 1$ ya que $-6=7\cdot (-1) +1$.

Decimos que dados dos números enteros $m$ y $n$ son congruentes entre sí con respecto a un determinado número entero $p$, y lo escribimos $m \equiv n (\mod p)$ si $m \mod p = n \mod p$, esto es, si las divisiones euclídeas $m \div p$ y $n \div p$ tienen el mismo resto. Así, por ejemplo, $15 \equiv 22 (\mod 7)$ ya que $15 \mod 7 = 1 = 22 \mod 7$. Tambien podemos decir, entre otras muchas cosas, que $15 \equiv -6 (\mod 7)$ ya que $15 \mod 7 = 1 = -6 \mod 7$

Esta operación módulo es muy importante en la teoría elemental de números (o matemática discreta): es necesaria en los cálculos con congruencias y también para entender y probar proposiciones. Como ejemplo práctico podemos subrayar que la matemática discreta es fundamental en el diseño de algoritmos y en programación.

Muchas calculadoras científicas incorporan esta operación, y la secuencia de tecleo suele ser (para el ejemplo que comento): [15 $\rightarrow$ mod $\rightarrow$ 7 $\rightarrow$ = (o EXE)], presentándose el resultado, $1$, en pantalla.

La congruencia cumple dos propiedades básicas. Si $a_1 \equiv a_2 (\mod p)$ y $b_1 \equiv b_2 (\mod p)$, entonces:

• $a_1+b_1 \equiv a_2 + b_2 \,(\mod p)$
• $a_{1}\cdot b_{1} \equiv a_{2} \cdot b_{2}\, (\mod p)$

Por ejemplo, $26 \equiv 19 (\mod 7)$, ya que $26 \mod 7 = 5 = 19 \mod 7$, y $27 \equiv 13 (\mod 7)$ puesto que $27 \mod 7 = 6 = 13 \mod 7$. Por tanto:

• $26+27 \equiv 19+13 (\mod 7)$, esto es, $53 \equiv 32 (\mod 7)$; en efecto: $53 \mod 7 = 4 = 32 \mod 7$
• $26\cdot 27 \equiv 19\cdot 13 (\mod 7)$, esto es, $702 \equiv 247 (\mod 7)$; en efecto: $702 \mod 7 = 2 = 247 \mod 7$

$\diamond$

Álgebra de permutaciones

Permutaciones

Consideremos el conjunto de índices $\{1,2,\ldots,n\}$. Entendemos por permutación una aplicación inyectiva del conunto $\{1,2,\ldots,n\}$ sobre sí mismo, de manera que $1\mapsto i_1$, $2\mapsto i_2$, $\ldots$, $n\mapsto i_n$, y notamos dicha permutación de la forma $i=[i_1,i_2,\ldots,i_n]$. Así, por ejemplo, la permutación $i=[2,4,3,1]$ significa que a $1$ le corresponde el $2$; al $2$ el $4$; al $3$ el $3$ y al $4$ el $1$, esto es, $i_1=2$, $i_2=4$,$i_3=3$ y $i_4=4$.

A partir de $n$ índices podemos obtener $n!$ permutaciones distintas.

Podemos componer dos permutaciones $i=[i_1,i_2,\ldots,i_n]$ y $j=[j_1,j_2,\ldots,j_n]$, obteniendo otra permutación de las $n!$ posibles. Esta nueva permutación, $k$, que resulta la notamos de la forma $(j\circ i)_k$, leyéndose $i$ compuesta con $j$, queriendo significar con ello que actúa primero la permutación $i$ y en segundo lugar la permutación $j$ sobre el resultado de la primera; así $(j \circ i)_k=j_{i_k}$

Ejemplo de permutación con $n=4$
Consideremos $i=[2,4,3,1]$ y $j=[4,2,1,3]$. Entonces $j\circ i$ es otra permutación, $k=(j\circ i)_k=j_{i_k}$ y es tal que:
  $k_1=j_{i_1}=j_2=2$
  $k_2=j_{i_2}=j_4=3$
  $k_3=j_{i_3}=j_3=1$
  $k_4=j_{i_4}=j_1=4$
Es decir, $$j \circ i=[2,3,1,4]$$

El grupo de permutaciones $(\mathcal{P}_n,\circ)$

El conjunto de las permutaciones, $\mathcal{P}$, de $n$ índices con la operación composición (o producto) de permutaciones, $(\mathcal{P}_n,\circ)$, tiene estructura de grupo. En efecto, la operación es interna; se cumple la propiedad asociativa $i\circ (j\circ k) = (i \circ j) \circ k$, para cualesquiera permutaciones $i,j$ y $k$; y, existe elemento neutro, que no es otro que $e=[1,2,\ldots,n]$, habida cuenta de que $e\circ i=i\circ e$ para toda permutación $i\in \mathcal{P}_n$, y dada cualquier permutación, $i$, existe para ésta un elemento simétrico, que designaremos por $i'$ y es tal que $i_m=n$ si y sólo si $i'_n=m$, para cualesquiera valores de índices $n,m\in \{1,2,\ldots,n\}$, por lo que $i \circ i' = i' \circ i = e$. Cabe decir, además, que, para cualesquiera permutaciones $i$ y $j$, no se cumple la propiedad conmutativa: $i\circ j \neq j \circ i$ luego dicho grupo no es conmutativo.

Ejemplo de cálculo de la permutación inversa de una permutación dada
Consideremos la permutación $\mathcal{P}_4 \ni i=[4,1,2,3]$. Entonces, como $1$ está en el segundo lugar en la permutación $i$, esto es, $i'_1=2$, ya que $i_2=1$; razonando de la misma manera, deducimos que $i'_2=3$, puesto que $i_3=2$; $i'_3=4$ (ya que $i_4=4$), y $i'_4=1$, pues $i_1=4$. Por consiguiente la permutación inversa de $i=[4,3,2,1]$ es $i'=[2,3,4,1]$.
Comprobemos que $e=[1,2,3,4]=i'\circ i=i'_{i_k}$ donde $k=1,2,3,4$:
  $i'_{i_1}=i'_4=1=e_1$
  $i'_{i_2}=i'_1=2=e_2$
  $i'_{i_3}=i'_2=3=e_3$
  $i'_{i_4}=i'_3=4=e_4$
y también que, $e=[1,2,3,4]=i\circ i'=i_{i'_k}$ donde $k=1,2,3,4$:
  $i_{i'_1}=i_2=1=e_1$
  $i_{i'_2}=i_3=2$
  $i_{i'_3}=i_4=3$
  $i_{i_4}=i_1=4$

Trasposiciones

Llamamos trasposición al intercambio de dos índices ($r$ por $s$, y $s$ por $r$) sin alterar el lugar del resto de los índices, y lo escribimos de la forma $(r,s)$. Ejemplo: $(2,4)=[1,4,3,2]$. Resulta evidente que la inversa de una trasposición es ella misma ya que $(r,s)=(s,r)$.

Teorema. Toda permutación se puede escribir como un producto (composición) de un número finito de trasposiciones.
Ejemplo
Se considera la permutación $[3,4,2,1]$. Veamos cómo escribirla como un producto de trasposiciones.
$[3,4,2,1]=(1,3)\circ [1,4,2,3]=$
  $=(1,3)\circ (2,4) \circ [1,2,4,3]$
    $=(1,3)\circ (2,4) \circ (3,4)\circ [1,2,3,4]$, que podemos escribir también como
      $[3,4,2,1]=(1,3)\circ (2,4) \circ (3,4)$, puesto que la última permutación que resulta (a la derecha) en el paso anterior $[1,2,3,4]$ es el elemento neutro del producto.

(...) $\diamond$

La función beta, la función gamma y el número $\pi$

La función beta o integral de Euler de primer orden se define como $$\displaystyle \beta(z,w)=\int_{0}^{1}\,x^{z-1}\,(1-x)^{w-1}\,dx$$ donde $z,w\in \mathbb{C}$ y son tales que $\text{Re}(z)\gt 0$ y $\text{Im}(w)\gt 0$. Una propiedad interesante de la misma es la siguiente $$\beta(z,w)=\dfrac{\Gamma(z)\Gamma(w)}{\Gamma(z+w)}$$

Es sabido que $\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$ y $\Gamma(1)=1$ —ahora, en particular, $z,w\in \mathbb{Q}$—, luego $$\beta\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\right)}=\dfrac{\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)}{\Gamma(1)}=\sqrt{\pi}\cdot \sqrt{\pi}=\pi$$ $\diamond$

Integrales impropias de segunda especie

Las integrales impropias de segunda especie son integrales definidas en las que la función integrando tiende a $\pm\infty$ en alguno de los dos límites de integración. Veamos cómo resolverlas con un ejemplo sencillo.

$$\displaystyle \int_{0}^{1}\,\dfrac{dx}{\sqrt{x}}=\displaystyle \lim_{k\rightarrow 0^+}\,\int_{0}^{1}\,\dfrac{dx}{\sqrt{x}}=\displaystyle \lim_{k\rightarrow 0^+}\,\left[2\,\sqrt{x}\right]_{k}^{1}=\displaystyle \lim_{k\rightarrow 0^+}\,\left(2\,\sqrt{1}-2\,\sqrt{k}\right)=\displaystyle \lim_{k\rightarrow 0^+}\,\left(2-2\,\sqrt{k}\right)=2-0=2$$ $\diamond$

Integrales impropias de primera especie

Las integrales impropias de primera especie son integrales definidas en las que alguno de sus dos límites de integración es $\pm\infty$. Veamos cómo resolverlas con un ejemplo sencillo.

$$\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\,\dfrac{dx}{x}=\displaystyle \lim_{k\rightarrow +\infty}\,\left[\ln\,|x|\right]_{1}^k=\displaystyle \lim_{k\rightarrow +\infty}\,\left(\ln\,k-\ln\,1\right)=\displaystyle \lim_{k\rightarrow +\infty}\,\left(\ln\,k-0\right)=\ln\,(\lim_{k\rightarrow +\infty}\,k)=\ln(+\infty)=+\infty$$ $\diamond$

Ejemplo de aplicación de la función gamma a la integración de determinadas funciones

Recordemos la definición de la función gamma de $z\in \mathbb{C}$ $$\displaystyle \Gamma(z)=\int_{0}^{+\infty}\,t^{z-1}\,e^{-t}\,dt$$ la cual extiende el concepto de factorial a los números reales y complejos.

Vamos a utilizarla en este ejercicio para integrar la función real de variable real $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\,x\,e^{x^3}\,dx$. Para ello, partiremos de la definición de la función gamma, siendo ahora $z$ una variable real, por lo que, por claridad, reescribiremos la definición para esta situación particular de la forma $p\in \mathbb{R}$ $$\displaystyle \Gamma(p)=\int_{0}^{+\infty}\,t^{p-1}\,e^{-t}\,dt$$

Para ello, parece natural realizar el cambio de variable $t=x^3$ (con lo cual $x=t^{1/3}$); diferenciando en cada miembro de la igualda: $dx=\dfrac{1}{3}\,t^{-2/3}\,dt$. Así, la integral pedida se puede expresar de la forma $$\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\,x\,e^{x^3}\,dx=\int_{0}^{+\infty}\,\dfrac{1}{3}\,t^{-1/3}\,e^{-t}\,dt=\dfrac{1}{3}\,\int_{0}^{+\infty}\,t^{2/3-1}\,e^{-t}\,dt\overset{p=2/3}{=}\dfrac{1}{3}\,\Gamma\left(\dfrac{2}{3}\right)$$ Nota: $\Gamma(2/3)$ es un número trascendente que aproximadamente es igual a $1,3541$, tal como puede comprobarse con la herramienta en línea WolframAlpha. $\diamond$

¿Por qué $0!=1$?

El factorial $n!$ se define a partir de la función gamma de $z\in \mathbb{C}$ $$\displaystyle \Gamma(z)=\int_{0}^{+\infty}\,t^{z-1}\,e^{-t}\,dt$$ la cual extiende el concepto de factorial a los números reales y complejos.

En particular, para $0\lt p\in \mathbb{R}$ se tiene que $$\displaystyle \Gamma(p)=\int_{0}^{+\infty}\,t^{p-1}\,e^{-t}\,dt$$ y se demuestra que $$\left\{\begin{matrix}\Gamma(p+1)=p\,\Gamma(p) \\ \Gamma(0)=1\end{matrix}\right.$$

Aplicando dicha recursividad, y tomando $p=n\in \mathbb{N}\cup \{0\}$ se llega, en particular, a la noción de factorial de un número entero no negativo $$\Gamma(n+1)=n! =\displaystyle \int_{0}^{\infty}\,t^{n}\,e^{-t}\,dt$$ Así pues $$0!=\displaystyle \int_{0}^{\infty}\,t^{0}\,e^{-t}\,dt=\int_{0}^{\infty}\,e^{-t}\,dt=1$$ $\diamond$

Funciones reales de una variable real. Infinitésimos equivalentes

Definición (infinitésimo).Recordemos que $f(x)$ es un infinitésimo si $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\,f(x)=0$, donde $a$ puede ser, también, $\pm\infty$.

Definición (infinitésimos equivalentes).Dos infinitésimos, $f(x)$ y $g(x)$ son equivalentes si $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\,\dfrac{f(x)}{g(x)}=1$.

Definición (orden relativo de dos infinitésimos).Dos infitésimos $f(x)$ y $g(x)$ tienen el mismo orden si $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\,\dfrac{f(x)}{g(x)}=k\neq 0$. Diremos que $f(x)$ es de mayor orden que $g(x)$ si $k=0$; y, $f(x)$ es de menor orden que $g(x)$ si $k=\pm \infty$. En el caso de que no exista el límite referido se dice que los infinitésimos $f(x)$ y $g(x)$ no son comparables.

Teorema 1. Dos infinitésimo son equivalentes si y sólo si el orden la diferencia es mayor que el orden de ambos.

Teorema 2. La suma de dos infitésimos de distinto orden es equivalente al infinitésimo de menor orden.

Teorema 3 (Sustitución de infinitésimos equivalentes). Sea $\phi(x)$ un infinitésimo. Entonces, si el límite $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\,\phi(x)\,f(x)$, pudiendo ser éste convergente o bien divergente, existe un infinitésimo $\psi(x)$ equivalente a $\phi(x)$ —lo notamos como $\phi(x)\sim \psi(x)$— tal que $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\,\phi(x)\,f(x)=\lim_{x\rightarrow a}\,\psi(x)\,f(x)$$

Teorema 4 (Sustitución de infinitésimos equivalentes). Sea $\phi(x)$ un infinitésimo. Entonces, si el límite $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\,\dfrac{f(x)}{\phi(x)}$, pudiendo ser éste convergente o bien divergente, existe un infinitésimo $\psi(x)$ equivalente a $\phi(x)$ —lo notamos como $\phi(x)\sim \psi(x)$— tal que $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\,\dfrac{f(x)}{\phi(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\,\dfrac{f(x)}{\psi(x)}$$

Los siguientes son infinitésimos equivalentes:

• $\ln(1+x)\sim x$, para $x\rightarrow 0$
• $\ln(x)\sim x-1$, para $x\rightarrow 1$
• $e^x-1\sim x$, para $x\rightarrow 0$
• $a^x-1\sim x\,\ln(x)$, para $x\rightarrow 0$
• $\sin(x)\sim x$, para $x\rightarrow 0$
• $\tan(x)\sim x$, para $x\rightarrow 0$
• $\text{arcsen}(x)\sim x$, para $x\rightarrow 0$
• $\text{arctan}(x)\sim x$, para $x\rightarrow 0$
• $1-\cos(x)\sim \dfrac{x^2}{2}$, para $x\rightarrow 0$
• $(1+x)^m-1\sim mx$, para $x\rightarrow 0$ y $m\gt 1$
• $\sqrt[n]{x+1}\sim \dfrac{x}{n}$, para $x\rightarrow 0$

-oOo-

Observación. Con variable discreta, para $n\rightarrow \infty$), algunas aproximaciones válidas son:

• $n!\approx \sqrt{2\pi\,n}\cdot n^n\cdot e^{-n}$ (aproximación de Stirling)
• $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,\dfrac{1}{i}\approx \ln\,n+c+\varepsilon$, donde $c$ es una constante y $\varepsilon \overset{n\rightarrow \infty}{\rightarrow} 0$
• $\dfrac{n^p}{a^n}\approx 0$
• $\dfrac{a^n}{n^p} \approx \infty$
• $\dfrac{\log_{a}\,n}{n^p}\approx 0$
• $\sqrt[n]{a}-1\approx \dfrac{\ln\,a}{n}$
• $\ln(a_n+1) \approx a_n$ cuando $a_n\rightarrow 0$
• $\ln\,a_n \approx a_n-1$ cuando $n\rightarrow 1$

$\diamond$

Hay infinitos números primos (Euclides, siglo III a.C.)

Euclides (ca. 325 a. C.,-ca. 265 a. C.) nos dejó una elegante demostración en la proposición número 20 del libro IX de sus Elementos [Hay más números primos que cualquier cantidad propuesta de números primos], que es un bonito ejemplo del uso de la técnica de demostración por contradicción.

Obviando los números primos negativos -que no se conocían en la antigüedad, y que sí incluyo aquí-, la demostración de Euclides es como sigue (empleando ahora el lenguaje moderno): Sean $p_1,p_2,\ldots$ números primos positivos y $\mathcal{P}=\{\pm p_1,\pm p_2,\ldots\}\subset \mathbb{Z}\setminus \{-1,0,1\}$ el conjunto de todos los números primos (positivos y negativos) -números enteros distintos de $0$, $1$ y $-1$ y que no son múltiplos del resto de números enteros-, donde $p_1\ge 2$ (y $-p_1\le -2$). Tomemos como hipótesis lo contrario de lo que queremos demostrar, esto es, partimos del supuesto de que hay un número finito de números primos, siendo el $p_n$ el máximo (y $-p_n$, el mínimo) de dicho conjunto supuestamene finito. A partir de aquí, vamos a ver como llegamos enseguida a una contradicción que nos permitará negar la hipótesis de partida, con lo cual habremos demostrado justo lo contrario de lo que reza ésta, es decir, que el número de números primos es infinto.

Consideremos ahora un número entero $\alpha:=p'_1\cdot p'_2 \cdot \ldots \cdot p'_n+1$, donde cada $p'_i$ ($i=1,\ldots,n$) puede ser igual a $p_i$ o bien a $-p_i$. Como el resto de la división de dicho número entre cualesquiera de los números primos $\{\pm p_1,\pm p_2\,\ldots,\pm p_n\}$ ha de ser igual a $1$, entonces, al ser el resto distinto de $0$, $\alpha$ no puede ser múltiplo de ninguno de los números primos $\pm p_1,\pm p_2 \ldots,\pm p_n$ del conjunto finito con el que hemos hecho la hipótesis de partida, luego $\alpha$ es un nuevo número primo, tal que $|\alpha| \ge p_n$, con lo que llegamos a una contradicción, y hemos terminado. $\square$
-oOo-
Referencias:
[1]  Euclides: Elementos, Libro IX, proposición número 20

Algunas series de números naturales que aparecen en muchos problemas de combinatoria y probabilidad

Nos proponemos sumar los $50$ primeros términos de las siguientes secuencias de números naturales:
  a) $1,2,3,4,5,\overset{\underbrace{50}}{\ldots},50$
  b) $1,4,9,16,25,\overset{\underbrace{50}}{\ldots},2500$
  c) $1,8,27,64,125,\overset{\underbrace{50}}{\ldots},125000$

Observemos que estas sucesiones se forman de la siguiente manera:
  a) $1,2,3,4,5,\ldots$ es la sucesión de los los números naturales $a_n=n$, y siendo finita en nuestro caso la sucesión, con $n=1,2,3,\ldots,50$, es muy fácil demostrar que, teniendo en cuenta que los términos forman una sucesión aritmética de diferencia igual a $1$, la suma de los $n$ primeros términos de la sucesión de los númros naturales es $1+2+\ldots+n=\dfrac{n\,(n+1)}{2}$. Así pues, $1+2+3+4+5,\overset{\underbrace{50}}{\ldots},50=\dfrac{50\cdot (50+1)}{2}=1\,275$

  b) $1^2,2^2,3^2,4^2,5^2,\ldots,50^2$ es la sucesión $b_n=n^2$, siendo finita la sucesión (como en el caso anterior), con $n=1,2,3,\ldots,50$,con $n=1,2,3,\ldots,50$, esto es la sucesión de los cuadrados de los $50$ primeros números naturales. Por inducción se demuestra fácilmente que la suma de los $n$ primeros términos de dicha sucesión es $1^2+2^2+\ldots+n^2=\dfrac{n\,(n+1)\,(2n+1)}{6}$. Por consiguiente, $1+4+9+16+25+\overset{\underbrace{50}}{\ldots}+2500=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+\overset{\underbrace{50}}{\ldots}+50^2=\dfrac{50\cdot (50+1)\cdot (2\cdot 50+1)}{6}=42\,925$

  c) $1^3,2^3,3^3,4^3,5^3,\ldots,50^3$, es la sucesión finita $c_n=n^3$ con $n=1,2,3,\ldots,50$, esto es la sucesión de los cubos de los $50$ primeros números naturales. Se demuestra fácilmente —también por inducción— que la suma de los $n$ primeros términos de esta sucesión es $1^3+2^3+\ldots+n^3=\dfrac{n^2\,(n+1)^2}{4}$. Por tanto, $1+8+27+64+125+\overset{\underbrace{50}}{\ldots}+125000=1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+\overset{\underbrace{50}}{\ldots}+50^3=\dfrac{50^2\cdot (50+1)^2}{4}=1\,625\,625$
$\diamond$

Cálculo del logaritmo de un número complejo

Vamos a calcular el logaritmo de un número complejo $z=a+ib$, donde $\mathcal{Re}(z)=a$ es la parte real, y $\mathcal{Im}(z)=b$ es la parte imaginaria, siendo $a,b\in \mathbb{R}$.

Para ello, nos conviene primero expresar el número complejo según la forma de Euler: $\displaystyle z=|z|\,e^{i\,\text{Arg}(z)}$, donde $\text{Arg}(z)=\text{arg}(z)+2k\pi$, con $k=0,1,2,\ldots$ (expresado en radianes), tomando el argumento principal, $\text{arg}(z)$, en el intervalo $0 \le \text{arg}(z) \lt 2\pi$, o en otro intervalo de longitud $2\,pi$, como es $-\pi \lt \text{arg}(z) \le \pi$; y, como ya sabemos, $\text{arg}(z)=\text{arctan}\left(\dfrac{\mathcal{Im}(z)}{\mathcal{Re}(z)}\right)=\text{arctan}\,\left(\dfrac{b}{a}\right)$ por consiguiente: $$\text{Arg}(z)=\text{arctan}\,\left(\dfrac{b}{a}\right)+2k\pi;\,\mathbb{Z}\ni k=0,1,2,\ldots$$

Desde luego, el logaritmo pedido es un número complejo $\mathbb{C} \ni w\equiv \ln(z)=c+id$, con $c=\mathcal{Re}(w),d=\mathcal{Im}(w)$, y por supuesto $c,d\in \mathbb{R}$, por lo tanto, $w=\ln\left(|z|\,e^{i\,\text{arg}(z)}\right)=c+id$. Teniendo en cuenta que $\ln\,(e^{i\,\text{Arg}(z)})=i\,\text{Arg}(z)$, se tiene que $$\displaystyle \ln\,(z)=\ln\,|z|+i\,\left(\text{arctan}\left(\dfrac{b}{a}\right)+2k\pi\right);k=0,1,2,\ldots$$ Es decir, $c=|z|$ y $d=\text{arctan}\left(\dfrac{b}{a}\right)+2k\pi$, con $k=0,1,2,\ldots$.

-oOo-

Ejemplo. Sea $z=2+i$. Nos proponemos calcular $\ln\,z$. Pues bien, $\displaystyle z=\sqrt{5}\,e^{i\,\text{arg}(z)+2k\pi}$ siendo en este caso el argumento principal $0\lt \text{arg}(z)=\text{arctan}(1/2)\lt \pi/2$, ya que tanto la parte real como la parte imaginaria de $z$ son positivas (el afijo de dicho número se encuentra en el primer cuadrante). En consecuencia, $\ln\,z = c+ id$, con $c=\ln\,\sqrt{5}$ y $d=\text{arctan}(1/2)+2k\pi$, con $k=0,1,2,\ldots$, y vemos que, con ayuda de la calculadora, $\sqrt{5}\approx 0,8047$ y $\text{arctan}(1/2) \approx 0,4636\,\text{rad}$, luego el logaritmo pedido es $$\{\sqrt{5}+i\,\text{arctan}(1/2)\,,\,\sqrt{5}+i\,(\text{arctan}(1/2)+2\pi)\,,\,\sqrt{5}+i\,(\text{arctan}(1/2)+4\pi)\,,\,\sqrt{5}+i\,(\text{arctan}(1/2)+6\pi)\,,\,\ldots\}$$ $\diamond$

División de polinomios. Cálculo del polinomio resto sin hacer la división

Consideremos la división de polinomios con coeficientes en $\mathbb{R}$, $$5x^4+x^3+1 \div x^3+x^2-2x$$ ¿Cómo podemos calcular el resto y el cociente de dicha división sin realizar la división, esto es, sin aplicar explícitamente el algoritmo general de la división?.

Recordemos el teorema de la división euclídea de polinomios: dado los polinomios $D(x)$ (p. dividendo) y $d(x)$ (p. divisor), distintos ambos del polinomio cero, y siendo $\text{grado}(D(x)\ge \text{grado}(dx)$, entonces se cumple que $D(x)=d(x)\,c(x)+r(x)$, donde $c(x)$ es el polinomio cociente de dicha división y cuyo grado es $\text{grad}(c(x))=\text{grado}(D(x))-\text{grado}(d(x))$, y el polinomio resto es tal que $\text{grado}(r(x))\le \text{grado}(d(x))$.

En el caso que nos ocupa, el polinomio dividendo es $D(x)=5x^4+x^3+1$ y su grado es $4$, y el polinomio divisor es $d(x)=x^3+x^2-2x$ y su grado es $3$, por lo que el polinomio resto puede llegar a ser de grado $2$, en consecuencia podemos escribir que $r(x)=ax^2+bx+c$, siendo los coeficientes $a,b$ y $c$ números reales —si $D(x)$ fuese múltiplo de $d(x)$, los tres coeficientes serian nulos; en el caso que $r(x)$ fuese de grado $1$, el coeficiente $a$ seria nulo y $b$ no nulo, y de ser de grado $2$, el coeficientes $a$ debería ser no nulo—. Pues bien, según lo dicho deberá cumplirse que $$5x^4+x^3+1=(x^3+x^2-2x)\cdot c(x)+ax^2+bx+c$$, siendo conscientes de que, si bien sabemos que el grado del polinomio cocientes ha de ser $1$, desconocemos el valor de los coeficientes del mismo.

A pesar de ello, podemos determinar el valor de los coeficientes del polinomio residuo, $a,b$ y $c$, si calculamos las raíces del polinomio divisor $d(x)$, que, fácilmente, vemos que son $-2$, $1$ y $0$. En efecto, como es bien sabido, para cada una de las raíces, el polinomio $c(x)$ se anula, luego al sustituir la indeterminada de los polinomios $D(x)$, $d(x)$, $c(x)$ y $r(x)$, por cada uno de esos valores se llega al siguiente sistema de ecuaciones lineales:$$\left\{\begin{matrix}73&=&4a&-&2b&+&c\\ 7&=&a&+&b&+&c \\ 1&=&&&&+&c\end{matrix}\right.$$

Sustituyendo el valor de $c$ que nos da la última ecuación en las dos primeras, $$\left\{\begin{matrix}72&=&4a&-&2b\\ 6&=&a&+&b\end{matrix}\right.$$ Multiplicando por $2$ ambos miembros de la segunda tenemos el sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}72&=&4a&-&2b\\ 12&=&2a&+&2b\end{matrix}\right.$$ y sumando miembro a miembro ambas ecuaciones se obtiene $6a=84$ y por tanto, $a=14$; sustituyendo ahora en la primera ecuación, $b=6-14=-8$

Concluimos pues que el polinomio resto pedido es $$r(x)=14x^2-8x+1$$ $\diamond$

Calculemos ahora el polinomio cociente $c(x)$. Para ello, recordemos otra vez que, por el teorema de la división (de polinomios) euclídea, se tiene que $D(x)=d(x)\cdot c(x)+r(x)$, y por tanto $$5x^4+x^3+1=(x^3+x^2-2x)\cdot c(x)+ 14x^2-8x+1$$ siendo el grado del polinomio cociente igual a $1$, ya que los grados de los polinomios dividendo y divisor son $4$ y $3$, respectivamente. Así, el polinomio cociente deberá ser de la forma $c(x)=dx+e$, con $d,e\in \mathbb{R}$; es decir, $$5x^4+x^3+1=(x^3+x^2-2x)\cdot (dx+e)+ 14x^2-8x+1$$ esto es $$5x^4+x^3+1=dx^4++dx^3-2dx^2+ex^3+ex^2-2ex+14x^2-8x+1$$ y agrupando los términos por grados en ambos miembros, se llega a $$\left\{\begin{matrix}5=d\\d+e=1\\-2d+e+14=0\\-2e-8=0\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}d=5\\e=-4\end{matrix}\right.$$ con lo cual $$c(x)=5x-4$$ $\diamond$

-oOo-

Observación 1: En el caso de que el polinomio divisor $d(x)$ no tenga raíces reales, podemos seguir el mismo procedimiento operando con las raíces complejas, como es bien fácil comprobarlo con algún ejemplo sencillo: pongamos que con $d(x)=x^2+1$.

Observación 2: Hallar el resto y el cociente sin hacer la división, puede ser interesante en los casos en los que el grado del polinomio dividendo sea mucho mayor que el grado del polinomio divisor, pues de aplicar el algoritmo general de la división, el proceso de cálculo podría ser engorroso y largo.