Resolución de un problema de números enteros que pasa por resolver una ecuación diofántica lineal

En otro artículo de este blog resolví una ecuación diofántica lineal mediante un procedimiento muy básico, sin utilizar el método habitual, llamémosle estándar, basado en el lema de Bézout (también conocido como identidad de Bézout). Ahora voy a resolver el mismo problema, empleando este procedimiento estándar. El problema era el siguiente:

Se nos informa de que dos equipos, $X$ e $Y$, (del deporte que queráis imaginar) han jugado un conjunto de partidos, de tal manera que el doble de los partidos ganados por $X$ más el número de partidos ganados por $Y$ es igual a $12$. ¿Cuáles son las maneras (resultados) en que tal cosa ha podido acontecer?.

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Recordemos sucintamente, primero, en qué consiste —en otros artículos de este mismo blog ya he trato este asunto— este procedimiento estándar. Sea la ecuación diofántica lineal $ax+by=c\; a,b\in \mathbb{Z}$, entonces existe solución, esto es, un conjunto de parejas de números enteros $(x,y)$ que satisfacen dicha ecuación, si y sólo si el máximo común divisor de los coeficientes $a$ y $b$, $\text{m.c.d}(a,b)$ (que denotaremos de manera abreviada por $d$), es divisor del coeficiente $c$ (el resto de la división entera $d\div c$ es $0$), lo cual se suele denotar por $d|c$.

Si existiese solución, para encontrar el conjunto de pares $(x,y)$ de números enteros que la conforman, se procede primero a encontrar una pareja cualesquiera que satisfaga la igualdad numérica expresada en la ecuación (esta pareja de números es pues una solución particular, y la denotaremos por $(x_P,y_P)$; y, a continuación, encontramos las otras parejas de la siguiente forma $$\left\{\begin{matrix}x=x_P+\lambda\cdot \dfrac{b}{d} \\ y=y_P-\lambda\cdot \dfrac{a}{d} \end{matrix}\right.\; \text{donde}\, \lambda \in \mathbb{Z}$$ que constituyen la solución general.

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Procedo, pues. La ecuación diofántica lineal que hay que resolver es $2x+y=12$. Los coeficientes de la ecuación son $a=2$ y $b=1$. Parto de una solución particular, pongamos que de la pareja formada por $x_P=5$ e $y_P=2$ —cumple la igualdad $2x+y=12$; en efecto: $2\cdot 5 +2 = 12$—, que, como he anunciado, denoto de la forma $(5,12)$. Por otra parte el máximo común divisor de los coeficientes $a=2$ y $b=1$ es, $d=1$. Así pues, las otras parejas han de ser de la forma: $$\left\{\begin{matrix}x=5+\lambda\cdot \dfrac{1}{1}=5+\lambda \\ y=2-\lambda\cdot \dfrac{2}{1}=2-2\lambda \end{matrix}\right.\; \text{donde}\, \lambda \in \mathbb{Z}$$ Teniendo en cuenta el sentido «físico» de la solución, es claro que no todo valor de $\lambda \in \mathbb{Z}$ (hay infinitos, por supuesto) proporciona una pareja que forme parte de la solución. Hay que ir probando valores consistentes con la naturaleza de la solución. Así pues, voy a ir dando valores al parámetro $\lambda$ para así ir encontrando el resto de parejas. Es conveniente empezar a probar valores de $\lambda$ pequeños (en valor absoluto) y ir aumento incrementándolos/decrementándolos según proceda:

• Si $\lambda=0$, entonces $x=5+0=5$ y $y=2-2\cdot 0=2-0=2$, esto es obtenemos la pareja $(5,2)$ como parte de la solución general.
• Si $\lambda=1$, entonces $x=5+1=6$ y $y=2-2\cdot 1=0$, esto es obtenemos la pareja $(6,0)$ como parte de la solución general.
• Si $\lambda=-1$, entonces $x=5+(-1)=4$ y $y=2-2\cdot (-1)=4$, esto es obtenemos la pareja $(4,4)$ como parte de la solución general.
• Si $\lambda=2$, entonces $x=5+2=7$ y $y=2-2\cdot 2=-2\lt 0$, que no tiene sentido en nuestro problema, y por tanto este valor de $\lambda$ no aporta nada a la solución, como tampoco lo hacen (por la misma razón) los valores de $\lambda$ mayores que $2$
• Si $\lambda=-2$, entonces $x=5+(-2)=3$ y $y=2-2\cdot (-2)=6$, esto es obtenemos la pareja $(3,6)$ como parte de la solución general.
• Si $\lambda=-3$, entonces $x=5+(-3)=2$ y $y=2-2\cdot (-3)=8$, esto es obtenemos la pareja $(2,8)$ como parte de la solución general.
• Si $\lambda=-4$, entonces $x=5+(-4)=1$ y $y=2-2\cdot (-4)=10$, esto es obtenemos la pareja $(1,10)$ como parte de la solución general.
• Si $\lambda=-5$, entonces $x=5+(-5)=0$ y $y=2-2\cdot (-5)=12$, esto es obtenemos la pareja $(0,12)$ como parte de la solución general.
• Si $\lambda=-6$, entonces $x=5+(-6)\lt 1$ y por tanto este valor de $\lambda$ no aporta nada a la solución, como tampoco lo hacen (por la misma razón) los valores de $\lambda$ menores que $-6$. Y, aquí, terminamos.

En conclusión, la solución de la ecuación diofántica propuesta está formada por las siguientes parejas de números $(x,y)$, enteros no negativos: $$\{(5,2),(6,0),(4,4),(3,6),(2,8),(1,10),(0,12)\}$$

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Referencias

[1] E. Bujalance, et. al, Elementos de matemática discreta (3ª edición), Sanz y Torres, Madrid, 2005

Programación en Python. Implementación en la calculadora Numworks

El siguiente ejemplo de elaboración de programas empleando Python es muy sencillito. Puedes implementarlo en tu ordenador —instalando previamente el intérprete y algún enterno de programación de Python—, o si dispones de de una Raspberry Pi. Si dispones de alguna calculadora programable en este lenguaje (por ejemplo la calculadora NumWorks), a cuyo emulador en línea puede acceder siguiendo este enlace: https://www.numworks.com/simulator/. Te irás acostumbrando poco a poco de servirte de este efectivo recurso: investigar y poder resolver problemas mediante este recurso numérico (escribiendo algoritmos).

Ejemplo. Cálculo del factorial de $n \in \mathbb{Z}\cup \{0\}$, $n!:=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \ldots \cdot 1$, siendo $0!=1$

def factorial(n):
    resultado = 1
    for i in range(1, n+1):
        resultado *= i
    return resultado

print(factorial(5))  # imprime 120 (5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5)

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Un caso sencillo de ecuación diofántica lineal, resuelta sin utilizar la identiad de Bézout

En este artículo expongo la resolución de un problema que consiste en resolver una sencilla ecuación con coeficientes enteros cuyas solución debe estar en el conjunto de los números enteros (ecuación diofántica), que, en este caso en particular han de ser no negativos. Y dice así:

Se nos informa de que dos equipos, $X$ e $Y$, (del deporte que queráis imaginar) han jugado un conjunto de partidos, de tal manera que el doble de los partidos ganados por $X$ más el número de partidos ganados por $Y$ es igual a $12$. ¿Cuáles son las maneras (resultados) en que tal cosa ha podido acontecer?.

Escribo primero la ecuación pertinente, de acuerdo con la información del enunciado: $$2x+y=12$$ Desde luego, habrá la solución de dicha ecuación estará formada por más de una pareja de números enteros no negativos — como valores de las variables (incógnitas)—, que denoto por $(x,y)$, y que, al sustituirlos en la ecuación, cumplirán la igualdad numérica entre los dos miembros de la misma, razón por la cual, esta ecuación hay que resolverla en el conjunto de los números naturales, con el añadido del número $0$. Podemos decir, por ello, que es una ecuación diofántica, si bien muy sencilla. Tendremos que contemplar tres casos, que debemos examinar:

1. Caso en que $a=b$
     Entonces, la ecuación pasa a ser $2x+x=12$, y por tanto, $3x=12$, de la cual se obtiene que $x=4$ y, por supuesto, $y=4$. Así, tenemos que en la solución está la pareja $(4,4)$
2. Caso en que $x\gt y$
     Siendo así, $12=2x+y\lt 2x+x$, es decir $3x \gt 12$ y, por tanto, $x \gt 4$; por otra parte, al ser $y\gt 0$, se tiene que $2x\le 12$, luego $x\le 6$. Entonces, los posibles valores de $x$ que aportan solución son tales que $4\lt x \le 6$. Dicho de otro modo, los valores que, en principio, puede tomar $x$ ante esa posibilidad son: $\{5,6\}$. Examino a continuación, qué valores de $y$ corresponden a cada uno de éstos (a partir del despeje de $b$ en la ecuación: $y=12-2x$):
   • Si $x=5$, entonces $y=12-2\cdot 5=12-10=2$, luego $(5,2)$ forma parate de la solución
   • Si $x=6$, entonces $y=12-2\cdot 6=12-12=0$, luego otra pareja que forma parte de la solución es $(6,0)$
   • Si $x=7$, entonces $y=12-2\cdot 7=12-14=-2 \notin \mathbb{N} \cup \{0\}$, por lo que este valor de $x$ no aporta nada a la solución
   Observación: Obviamente, como ya se ha avanzado, si $x \gt 7$, se obtienen números negativos para $y$.
3. Caso en que $y\gt x$
     Siendo así, $12=2x+y \lt 2y+y=3y$, es decir $3y \gt 12$ y, por tanto, $y \gt 4$; y, como, por otra parte, $y\le 12$, los valores posibles son tales que $4 \lt y \le 12$; dicho de otro modo, los valores a examinar que puede tomar $x$ ante esa posibilidad son: $\{5,6,7,8,9,19,11,12\}$. A continuación, voy a examinar de dicho conjunto dan valores de $x$ que sean consistentes, a partir del despeje de $x$ en la ecuación: $x=\dfrac{12-y}{2}$:
   • Si $y=5$, entonces $x=\dfrac{12-5}{2}=\dfrac{7}{2} \notin \mathbb{N}\cup \{0\}$, por lo que este valor no aporta nada a la solución
   • Si $y=6$, entonces $x=\dfrac{12-6}{2}=\dfrac{6}{2}=3 \in \mathbb{N}\cup \{0\}$, luego $(3,6)$ forma parte de la solución
   • Si $y=7$, entonces $x=\dfrac{12-7}{2}=\dfrac{5}{2} \notin \mathbb{N}\cup \{0\}$, por lo que este valor no aporta nada a la solución
   • Si $y=8$, entonces $x=\dfrac{12-8}{2}=\dfrac{4}{2}=2 \in \mathbb{N}\cup \{0\}$, luego $(2,8)$ forma parte de la solución
   • Si $y=9$, entonces $x=\dfrac{12-9}{2}=\dfrac{3}{2} \notin \mathbb{N}\cup \{0\}$, por lo que este valor no aporta nada a la solución
   • Si $y=10$, entonces $x=\dfrac{12-10}{2}=\dfrac{2}{2}=1 \in \mathbb{N}\cup \{0\}$, luego $(1,10)$ forma parte de la solución
   • Si $y=11$, entonces $x=\dfrac{12-11}{2}=\dfrac{1}{2} \notin \mathbb{N}\cup \{0\}$, por lo que este valor no aporta nada a la solución
   • Si $y=12$, entonces $x=\dfrac{12-12}{2}=\dfrac{0}{2}=0 \in \mathbb{N}\cup \{0\}$, luego $(0,12)$ forma parte de la solución

En conclusión, la solución de la ecuación diofántica propuesta está formada por las siguientes parejas de números $(x,y)$, enteros no negativos: $\{(4,4),(5,2),(6,0);(3,6),(2,8),(1,10),(0,12)\}$.

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Resolución de un sistema de ecuaciones lineales compatible determinado por el método de la matriz inversa (realizando los cálculos con GNU Octave)

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales con tres incóngitas $$\left.\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&1 \\ x&-&2y&+&3z&=&2 \\ x&+&3y&-&z&=&3\end{matrix}\right\}$$ que en forma matricial puede escribirse de la forma $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}\,\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}$$ Entendiendo por $A$ la matriz de los coeficientes del sistema, por $X$ el vector columna de las incóngnitas y por $B$ el vector columna de los términos independientes, podemos escribir la ecuación matricial $$AX=B$$ Multiplicando ambos miembros por $A^{-1}$, se tiene que $A^{-1}AX=A^{-1}B$, y como $A^{-1}A=I$ (matriz identidad), teniendo en cuenta que $IX=X$, llegamos a $$X=A^{-1}B$$ Esto constituye el método de la matriz inversa para resolver el sistema de ecuaciones, obteniendo éstas, esto es, el vector columna de las incógnitas, que, claro está, para poder aplicarlo es necesario que $\text{det}(A)\neq 0$ (el sistema tiene que ser compatible).

Voy ahora a resolverlo, con la ayuda del GNU Octave:

  >> A=[1,1,1;1,-2,3;1,3,-1]
A =

   1   1   1
   1  -2   3
   1   3  -1
   
>> det(A)
ans = 2
% Como el determinante de la matriz de los coeficientes es
% distinto de cero, la matriz es regular (inversible) y su 
% rango es 3; en efecto,

>> rank(A)
ans = 3


% luego el sistema es compatible. 
% Además, es compatible, habida cuenta de que 
% el rango de la matriz ampliada es también 3,

% (en efecto, el rango de la matriz ampliada es 3)

>> A_a=[1,1,1,1;1,-2,3,2;1,3,-1,3]
A_a =

   1   1   1   1
   1  -2   3   2
   1   3  -1   3

>> rank(A_a)
ans = 3

% Por otra parte, el rango, que es 3, 
% es igual al número de incóngitas
% por lo que el sistema es (compatible) determinado


% Procedo a resolverlo,
% calculando la matriz inversa de A: 
>> A_i=inv(A)
A_i =

  -3.5000   2.0000   2.5000
   2.0000  -1.0000  -1.0000
   2.5000  -1.0000  -1.5000


% Compruebo que está bien calculada:
% el producto de la matriz A por su inversa
% (y el de la inversa de A por A)
% ha de ser igual a la matriz identidad

>> I=[1,0,0;0,1,0;0,0,1]
I =

   1   0   0
   0   1   0
   0   0   1


>> A_i*A
ans =

   1.0000   0.0000        0
        0   1.0000        0
        0   0.0000   1.0000

>> A*A_i
ans =

   1.0000        0        0
   0.0000   1.0000   0.0000
        0        0   1.0000

% Finalmente, calculo el vector de las incóngitas X:

% (defino antes el vector de los términos independientes)
>> B=[1;2;3]
B =

   1
   2
   3

% Y he aquí la solución del sistema
>> X=A_i*B
X =

   8
  -3
  -4

% Compruebo la solución, sustituyendo en las ecuaciones
% los valores de las incóngitas que acabamos de calcular

% Substituyo en la primera ecuación
>> X(1)+X(2)+X(3)
ans = 1
que, en efecto, es el valor 
del término independiente de la misma


% Substituyo en la segunda ecuación
>> X(1)-2*X(2)+3*X(3)
ans = 2
que, en efecto, es el valor 
del término independiente de la misma

% Substituyo en la tercera ecuación
>> X(1)+3*X(2)-X(3)
ans = 3
que, en efecto, es el valor 
del término independiente de la misma

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Referencias

[1] J.F. Fernando; J.M. Gamboa; J.M. Ruiz, Álgebra lineal (vol. 1), Sanz y Torres, Madrid, 2011
[2] John W. Eaton; David Bateman; Søren Hauberg; Rik Wehbring, Free Your Numbers (Manual de GNU Octave), https://www.gnu.org/software/octave/octave.pdf

Cálculo rápido del determinante de una matriz cuadrada $A$, dada ésta factorizada como $A=LU$

Es sabido que dadas dos matrices cuadradas y del mismo orden, $A$ y $B$, se tiene que $\text{det}(AB)=\text{det}(A)\cdot \text{det}(B)$; por tanto, si una matriz $M$ viene ya expresada como el producto de una matriz triangular inferior por una matriz triangular superior (factorización $M=LU$) —ya se trate de la factorización de Crout o bien de la de Doolittle—, el cálculo del determinante de $M$ es muy rápido.

Teniendo en cuenta que el determinante de una matriz cuadrada triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal principal, entonces el cálculo del determinante de $\text{det}(M)=\text{det}(L)\cdot \text{det}(U)$ requiere únicamente $n-1$ multiplicaciones (el producto de los elementos de la diagonal principal del factor que no tenga unos en la misma), ya que la otra matriz factor tiene determinante igual a $1$, habida cuenta de que los elementos de su diagonal principal son todos ellos unos.

Ejemplo con una matriz $M=LU$ (factorizada por el m. de Doolittle: matriz $L$ con unos en la diagonal principal)

Con $2$ multiplicaciones podemos calcular el determinante de una matriz cuadrada de orden $3$, siempre que conozcamos la factorización $LU$ de la misma. Hago los cálculos de comprobación con GNU Octave:

% Sea la matriz   
   A=[1,-1,2;1,2,2;1,1,-1]
A =

   1  -1   2
   1   2   2
   1   1  -1

>> [L,U]=lu(A)
L =

   1.0000        0        0
   1.0000   1.0000        0
   1.0000   0.6667   1.0000

U =

   1  -1   2
   0   3   0
   0   0  -3


% det(L)=1 (no hace falta hacer ningún cálculo, pues
% de antemano conocemos este resultado, puesto que
% L es una matriz diagonal con unos en la diagonal
% principal, y, por tanto, su determinante es igual a 1)

% A continuación vemos las dos multiplicaciones que 
% he comentado arriba:
% det(U)=1·3·(-3)=(1\cdot 3)\cdot (-3)=-9

% En efecto, por el algoritmo por defecto:
>> det(U)
ans = -9

% Así pues det(L)·det(U)=1·(-9)=-9
% en efecto, por el algoritmo por defecto:
>> det(L)*det(U)
ans = -9

% y nótese que, por el algoritmo por defecto,
>> det(A)
ans = -9

  

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Referencias

[1] J.F. Fernando; J.M. Gamboa; J.M. Ruiz, Álgebra lineal (vol. 1), Sanz y Torres, Madrid, 2011
[2] F. García; A. Nevot, Análisis numérico, Paraninfo, Madrid, 1992
[3] John W. Eaton; David Bateman; Søren Hauberg; Rik Wehbring, Free Your Numbers (Manual de GNU Octave), https://www.gnu.org/software/octave/octave.pdf

Cálculo de la matriz canónoca de Jordan de la matriz de un endomorfismo mediante el uso de GNU Maxima

En este artículo expongo un sencillo ejemplo de cálculo de la matriz canónica de Jordan (en la base adecuada) de la matriz dada (referida a la base canónica) de un cierto endomorfismo, empleando las utilidades de GNU Maxima, que es una buena herramienta CAS para este tipo de trabajos.

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Referencias

[1] L. Merino; E. Santos, Álgebra Lineal con métodos elementales, Paraninfo-Thomson, Madrid, 2007
[2] E. Hernández, Álgebra y geometría, Addison-Wesley/UAM, Madrid, 1994
[3] S. Xambó, Álgebra lineal y geometrías lineales, Eunibar, Barcelona, 1977
[4] J.F. Fernando; J.M. Gamboa; J.M. Ruiz, Álgebra lineal (vol. 2), Sanz y Torres, Madrid, 2010
[5] Documentación oficial en la red Internet sobre el uso de GNU Maxima, https://maxima.sourceforge.io/documentation.html

Operaciones sencillas con matrices empleando GNU Octave

En este artículo expongo un sencillo divertimento del uso del programa GNU Octave con el cálculo con matrices, que, si bien no tiene una utilidad práctica evidente, puede ser de utilidad para juagar y familiarizarnos con el uso de este software.

Podemos descomponer una matriz, $A$, como la suma de la matriz formada por los elementos que quedan por debajo de la diagonal principal (incluidos éstos) —siendo los restantes (los de la parte superior a la misma nulos)— y la matriz formada por los elementos que quedan por por encima de la diagonal principal (incluidos éstos) —siendo los restantes (los de la parte inferior a la misma nulos)—, restando al resultado de esta suma la matriz diagonal formada por los elementos de la diagonal principal de la matriz $A$ (puesto que con la suma de la primera y segunda matriz sumamos dos veces los elementos de la diagonal principal). Veamos un ejemplo:

>> A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]
A =

   1   2   3
   4   5   6
   7   8   9

>> tril(A)
ans =

   1   0   0
   4   5   0
   7   8   9

>> triu(A)
ans =

   1   2   3
   0   5   6
   0   0   9

>> triu(A)+tril(A)
ans =

    2    2    3
    4   10    6
    7    8   18
    
>> diag=[1,0,0;0,5,0;0,0,9]
diag =

   1   0   0
   0   5   0
   0   0   9

Comprobémoslo:
>> tril(A)+triu(A)-diag
ans =

   1   2   3
   4   5   6
   7   8   9
que es la matriz A de partida.   

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Referencias

[1] John W. Eaton; David Bateman; Søren Hauberg; Rik Wehbring, Free Your Numbers (Manual de GNU Octave), https://www.gnu.org/software/octave/octave.pdf

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Diagonalización de matrices con GNU Octave. Valores y vectores propios

Para obtener los valores propios y los vectores propios de una matriz $A$ existe también una instrucción en GNU Octave. A modo de ejemplo, voy encontrar los valores y vectores propios de la matriz de orden $3$ $$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\ 4&5&6 \\ 7&1&9 \end{pmatrix}$$ utilizando GNU Octave (de manera automática). La instrucción nos da la matriz del cambio de base $C$, siendo por tanto los coeficiente de la misma, por columnas, las coordenadas de los vectores propios; además, $D$ representa la matriz diagonal: en cuya diagonal principal tendremos los valores propios correspondientes.

  >> A=[1,2,3;4,5,6;7,1,9]
A =

   1   2   3
   4   5   6
   7   1   9

>> [C,D]=eig(A)
C =

  -0.285862  -0.818536  -0.227349
  -0.667939  -0.027924  -0.877584
  -0.687125   0.573776   0.422088

D =

Diagonal Matrix

   12.8843         0         0
         0   -1.0347         0
         0         0    3.1505


>> eig(A)
ans =

   12.8843
   -1.0347
    3.1505

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Referencias

[1] John W. Eaton; David Bateman; Søren Hauberg; Rik Wehbring, Free Your Numbers (Manual de GNU Octave), https://www.gnu.org/software/octave/octave.pdf

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Factorización $QR$ de una matriz con GNU Octave

Una matriz $A$ no singular puede descomponerse (factorizarse) de la forma $A=QR$, donde $Q$ es una matriz ortogonal y $R$ es una matriz triangular superior. En partircular, si los elementos de la diagonal de $L$ son unos, denominamos a dicha factorización $LU$ de Crout. A modo de ejemplo, voy a resolver la factorización $LU$ de Crout de la siguiente matriz de orden $3$ $$A=\begin{pmatrix}1&-1&2\\ 1&2&2 \\ 1&1&-1 \end{pmatrix}$$ utilizando GNU Octave (de manera automática)-

Mediante el uso de la herramienta GNU Octave voy a resolver el sistema escalonando por Gauss la matriz ampliada, con pivotamiento por columnas, obteniendo así una matriz equivalente (en cuanto a la solución del sistema) de tipo triangular superior:

 >> A=[1,-1,2;1,2,2;1,1,-1]
A =

   1  -1   2
   1   2   2
   1   1  -1

>> [Q,R]=qr(A)
Q =

  -0.5774   0.7715  -0.2673
  -0.5774  -0.6172  -0.5345
  -0.5774  -0.1543   0.8018

R =

  -1.7321  -1.1547  -1.7321
        0  -2.1602   0.4629
        0        0  -2.4054

Por tanto, podemos escribir $$\begin{pmatrix}1&-1&2\\ 1&2&2 \\ 1&1&-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-0.5774 & 0.7715 & -0.2673 \\ -0.5774 & -0.6172 & -0.5345 \\ -0.5774 & -0.1543 & 0.8018 \end{pmatrix}\,\begin{pmatrix} -1.7321 & -1.1547 & -1.7321\\ 0 & -2.1602 & 0.4629 \\ 0 & 0 & -2.4054 \end{pmatrix}$$ Comprobémoslo, empleando también Octave. En efecto,

>> Q*R
ans =

   1  -1   2
   1   2   2
   1   1  -1

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Observación

La descomposición $QR$ es la base del algoritmo QR que se utiliza para el cálculo de los vectores y valores propios de una matriz.

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Referencias

[1] John W. Eaton; David Bateman; Søren Hauberg; Rik Wehbring, Free Your Numbers (Manual de GNU Octave), https://www.gnu.org/software/octave/octave.pdf

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Factorización $LU$ de Doolittle empleando GNU Octave

Una matriz $A$ no singular puede descomponerse (factorizarse) de la forma $A=LU$, donde $L$ es una matriz triangular inferior y $U$ es una matriz triangular superior. En partircular, si los elementos de la diagonal de $L$ son unos, denominamos a dicha factorización $LU$ de Doolittle. A modo de ejemplo, voy a resolver la factorización $LU$ de Doolittle de la siguiente matriz de orden $3$ $$A=\begin{pmatrix}1&-1&2\\ 1&2&2 \\ 1&1&-1 \end{pmatrix}$$ utilizando GNU Octave (de manera automática)-

Mediante el uso de la herramienta GNU Octave voy a resolver el sistema escalonando por Gauss la matriz ampliada, con pivotamiento por columnas, obteniendo así una matriz equivalente (en cuanto a la solución del sistema) de tipo triangular superior:

 >> A=[1,-1,2;1,2,2;1,1,-1]
A =

   1  -1   2
   1   2   2
   1   1  -1

>> [L,U]=lu(A)
L =

   1.0000        0        0
   1.0000   1.0000        0
   1.0000   0.6667   1.0000

U =

   1  -1   2
   0   3   0
   0   0  -3

Por tanto, podemos escribir $$\begin{pmatrix}1&-1&2\\ 1&2&2 \\ 1&1&-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 1&1&0 \\ 1&0.6667&1 \end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}1&-1&2\\ 0&3&0 \\ 0&0&-3 \end{pmatrix}$$ Comprobémoslo, empleando también Octave. En efecto,

>> L*U
ans =

   1  -1   2
   1   2   2
   1   1  -1

---

Nota

Habida cuenta de que el coficiente $0.6667$ es la aproximación de $\dfrac{2}{3}$ podemos escribir también de la forma $$\begin{pmatrix}1&-1&2\\ 1&2&2 \\ 1&1&-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 1&1&0 \\ 1&2/3&1 \end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}1&-1&2\\ 0&3&0 \\ 0&0&-3 \end{pmatrix}$$

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Observación

Para hacer frente a posibles inestabilidades del método conviene tener en cuenta algunos casos especiales; así, por ejemplo, en el caso de que uno o varios elementos de la diagonal principal de la matriz a factorizar sea cero, será necesario premultiplicar la matriz por una o varias matrices elementales de permutación. Existe un segundo método llamado factorización $P A = L U$ (o $L U$ con pivote), que se usa en el análisis numérico para resolver sistemas de ecuaciones con más eficiencia y también para encontrar las matrices inversas.

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Referencias

[1] John W. Eaton; David Bateman; Søren Hauberg; Rik Wehbring, Free Your Numbers (Manual de GNU Octave), https://www.gnu.org/software/octave/octave.pdf

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Uso de GNU Octave en la resolución (automática) de sistemas de ecuaciones lineales

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales con tres incóngitas $$\left.\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&1 \\ x&-&2y&+&3z&=&2 \\ x&+&3y&-&z&=&3\end{matrix}\right\}$$ que en forma matricial puede escribirse de la forma $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}\,\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}$$ La matriz (ampliada) de los coeficientes del sistema es $$A=\left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&1 \\ 1&-2&3&2 \\ 1&3&-1&3 \end{array}\right)$$

Mediante el uso de la herramienta GNU Octave voy a resolver el sistema escalonando por Gauss la matriz ampliada, con pivotamiento por columnas, obteniendo así una matriz equivalente (en cuanto a la solución del sistema) de tipo triangular superior $U$ tal que $U^{\top}U=A$. Con Octave es tan cómodo como hacer los siguiente:

  >> A=([1,1,1,1;1,-2,3,2;1,3,-1,3])
  >> U=rref(A)
  U =

   1   0   0   8
   0   1   0  -3
   0   0   1  -4 
  

esto es, la matriz $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1&0&0&8 \\ 0&1&0&-3 \\ 0&0&1&-4 \end{array}\right)$$ Así, un sistema equivalente en solución es $$\left.\begin{matrix}x&&&&&=&8 \\ &&y&&&=&-3 \\ &&&&z&=&-4\end{matrix}\right\}$$ que nos da directamente la solución.

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Referencias

[1] John W. Eaton; David Bateman; Søren Hauberg; Rik Wehbring, Free Your Numbers (Manual de GNU Octave), https://www.gnu.org/software/octave/octave.pdf

Cálculo matricial con R. Un ejemplo sencillo

Un ejemplo sencillo:

Introduzcamos una matriz 3x2; por ejemplo,
> A <- matrix(c(1,2,3,4,5,6),nrow=3,ncol=2)
> A
     [,1] [,2]
[1,]    1    4
[2,]    2    5
[3,]    3    6

Sea (otra) matriz 2x3, que, por ejemplo, introducimos modificando A
sumando 1 a cada componente escalar de la matriz
> B=t(A+1)
> B
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    2    3    4
[2,]    5    6    7

Calculamos el producto AB
> A%*%B
     [,1] [,2] [,3]
[1,]   22   27   32
[2,]   29   36   43
[3,]   36   45   54

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Nota: No debe confundirse el producto de dos matrices $C$ por $D$, con $C$ de tamaño $m \times n$ y $D$ de tamaño $n\times p$, el cual da lugar a una matriz $CD$ de tamaño $m \times p$ —para realizar dicho producto en R se utiliza el operador C%*%D (tal como se ha hecho en el ejemplo anterior)—, con el producto componente a componente de sendas matrices (con el operador *), que da lugar a otra matriz del mismo tamaño/dimensión que éstas. Así, por ejemplo, con las siguientes matrices de la misma dimensión

> C <- matrix(c(1,2,3,4,5,6),nrow=2,ncol=3)
> D <- matrix(c(2,3,4,5,6,7),nrow=2,ncol=3)

> C
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    1    3    5
[2,]    2    4    6

> D
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    2    4    6
[2,]    3    5    7

el producto componente a componente da lugar a otra matriz de las mismas 
dimensiones que C y D

> C*D
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    2   12   30
[2,]    6   20   42

Démonos cuenta de que plantear el producto de matrices 
C%*%D no tiene sentido, pues $C$ es $2 \times 3$ (esto es, $m=2$ y $n=3), 
al igual que $D$, y por tanto, al no ser igual el número de columnas 
del primer factor (la matriz C tiene $3$ columnas) al número de filas 
del segundo factor (la matriz D tiene $2$ columnas), 
no está definido dicho producto matricial, por lo que el resultado
de aplicar dicho comando daría lugar a un error del programa.

En efecto,
> C%*%D
Error in C %*% D : argumentos no compatibles

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Referencias

[1] The UIB-AprendeR team: https://aprender-uib.github.io/AprendeR1/
[2] The UIB-AprendeR team: https://aprender-uib.github.io/AprendeR2/
[3] The R Development Core Team: https://cran.r-project.org/manuals.html

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Salidas de los resultados decimales de un cálculo en GNU OCTAVE

¿Cómo establecer el número de cifras decimales significativas de una cantidad que se mostrarán en la salida?

Podemos mostrar 4 o bien 14 cifras decimales significativas estableciendo un formato largo o un formato corto, los cuales están preestablecidos

Ejemplos

    Aproximación de pi con 4 cifras decimales significativas
   (5 cifras significativas, las de la parte decimal más la de la parte entera)

>>  format short;pi
ans = 3.1416

    Aproximación de pi con 14 cifras decimales significativas
    (15 cifras significativas, las de la parte decimal más la parte entera)

>>  format long;pi
ans = 3.141592653589793

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Es posible precisar el número de cifras decimales significativas que nos interese

Ejemplos

  >> printf("pi con tres cifras decimales significativas=%0.3f\n",pi)
pi con tres cifras decimales significativas (4 c. significativas)=3.142
  
  También podemos establecer la longitud del espaciado 
  delante de la primera cifra entera
  
  >> printf("aproximacion de pi con cuatro cifras significativas=%10.3f\n",pi)
aproximacion de pi con cuatro cifras significativas=     3.142
  
  >> printf("aproximacion de pi con cuatro cifras significativas=%20.3f\n",pi)
aproximacion de pi con cuatro cifras significativas=               3.142

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Resultado de un cálculo empleando una variable y una constante, estableciendo el número de cifras decimales significativas que corresponda en cada caso

Ejemplo

  Cálculo del área de un círculo de radio dado 
  Ejemplo:
  >> r=2.1 
  Notemos que el radio, como dato (medido en unidades arbitrarias de longitud), 
  tiene una precisión de 2 cifras significativas (c.s.)
  
  Como el dato (el radio) tiene 2 cifras significativas (c.s.), 
  el resultado del cálculo, 
  que involucra productos (la potencia),
  no puede darse con una precisión mayor que la del dato, 
  esto es, con 2 c.s., y por tanto sin parte decimal, 
  que son, en este caso, las dos cifras 
  de la parte entera del mismo
  
  
  >> printf("area del circulo= %2.0f\n",pi*r^2)
area del circulo= 14

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Referencias

[1] Manual de GNU Octave: https://www.gnu.org/software/octave/octave.pdf

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Recta tangente y plano normal a una curva en un punto dado, en el espacio euclídeo $\mathbb{R}^3$

En este artículo describo cómo calcular la recta tangente y el plano normal en un punto dado a una curva helicoidal (curva en el espacio $\mathbb{R}^3$); si bien, para cualquier otra curva dada en coordenadas paramétricas, se seguiría el mismo procedimiento. Y, para terminar, también expondré el cálculo de la curvatura, $\mathcal{K}$, y de la torsión, $\mathcal{T}$.

Consideremos la curva helicoidad (hélice) cuyas ecuaciones paramétricas (en función del parámetro $t\in \mathbb{R}$ son $\left\{\begin{matrix}x(t)=\cos\,t\\y(t)=\sin\,t\\z(t)=t\end{matrix}\right.$. Nos proponemos obtener la ecuación de la recta tangente y la del plano normal en el punto $P$ correspondiente a $t=\dfrac{\pi}{6}$.

Es sabido que la ecuación de la recta tangente, $r_P$, en un punto $P$ viene dada por $$r_P\equiv \dfrac{x-x_P}{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)_{P}}=\dfrac{y-y_P}{\left(\dfrac{dy}{dt}\right)_{P}}=\dfrac{z-z_P}{\left(\dfrac{dz}{dt}\right)_{P}}\quad \quad (1)$$ y, teniendo en cuenta que la recta tangente (y por tanto su vector director) en $P$ es perpendicular al plano normal, $\sigma_P$, pedido en ese mismo punto, deberá cumplirse que el producto escalar euclídeo de cualquier vector del plano con el vector director de la r. tangente ha de ser nulo: $$\left( \left(\dfrac{dx}{dt}\right)_P, \left(\dfrac{dy}{dt}\right)_P, \left(\dfrac{dz}{dt}\right)_{P}\right) \cdot \left( x-_P,y-y_P,z-z_P\right)=0$$ con lo cual $$\sigma_P\equiv\left(\dfrac{dx}{dt}\right)_P\, (x-x_P)+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)_P\, (y-y_P)+\left(\dfrac{dz}{dt}\right)_P\, (z-z_P)=0 \quad \quad (2)$$ Calculemos ahora lo que nos hace falta para montar las ecuaciones:
$\dfrac{dx}{dt}=-\sin\,t$, luego $\left(\dfrac{dx}{dt}\right)_P=-\sin\,\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{dy}{dt}=\cos\,t$, luego $\left(\dfrac{dy}{dt}\right)_P=\cos\,\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\dfrac{dy}{dt}=1$, luego $\left(\dfrac{dz}{dt}\right)_P=1$
Por otra parte, el punto en cuestión tiene por coordenadas:
$x_P=\cos\,\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$y_P=\sin\,\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}$
$z_P=\dfrac{\pi}{6}$
Entonces, (1) y (2) nos quedan: $$r_P\equiv \dfrac{x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{-1/2}=\dfrac{y-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{z-\dfrac{\pi}{6}}{1}$$ que puede escribirse también de la forma $$r_P\equiv \dfrac{x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{-1}=\dfrac{y-\dfrac{1}{2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{z-\dfrac{\pi}{6}}{2} \quad \quad (1')$$ y $$\sigma_P\equiv -\left(x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)+\sqrt{3}\,\left(y-\dfrac{1}{2}\right)+2\,\left(z-\dfrac{\pi}{6}\right)=0 \quad \quad (2')$$

Calculemos ahora la curvatura (el radio de curvatura) de esta curva. Es sabido que (véase [1]), si la curva viene dada en coordenadas paramétricas de parámetro $t$, la expresión de la curvatura es $$\mathcal{K}^2=\dfrac{1}{R^2}\, \dfrac{\left| \dfrac{d\vec{r}} {dt} \times \dfrac{d^2\,\vec{r}} {dt^2} \right|} {\left(\left( \dfrac{d\vec{r}}{dt}\right)^2\right)^3}$$ y la torsión (o radio de torsión), $\mathcal{T}$, viene dada por la fórmula $$\dfrac{1}{\mathcal{T}}= -\dfrac{\dfrac{d\vec{r}} {dt} \cdot \left( \dfrac{d^2\,\vec{r}} {dt^2} \times \dfrac{d^3\,\vec{r}} {dt^3} \right)} {\left( \dfrac{d\vec{r}}{dt} \times \dfrac{d^2\,\vec{r}} {dt^2} \right)^2}$$

Los cálculos anteriores (que omito) llevan a los siguientes resultados: $\mathcal{K}=2=$constante (el radio de curvatura es constante), y $\mathcal{T}=-2=$constante; y, como es distinta de cero, es claro que se trata de una curva alabeada (y no plana).

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Referencias:

  [1] N. Piskunov, Cálculo diferencial e integral, Montaner y Simón, S.A., Barcelona, 1978.
  [2] S. Lipschutz, Geometría diferencial, McGraw-Hill, México, 1976.
  [3] A. Vera López, Un curso de geometría diferencial: curvas y superficies, Editorial AVL, Bilbao, 1993.

Un ejemplo de aplicación del método de los multiplicadores de Lagrange para optimizar una función de varias variables, con una restricción

Se considera una esfera de radio $1$ centrada en el origen de coordenadas, y, por tanto, de ecuación $g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2=1$. Nos proponemos encontrar el punto (o puntos) del espacio de la superficie de dicha esfera cuya distancia al punto $P(1,1,1)$ —observemos que no forma parte de la superficie de la esfera— sea mínima o bien máxima.

La distancia de un punto $(x,y,z)$ de la superficie de la esfera a $P(1,1,1)$ es mínima cuando el cuadrado de la misma también es mínima —esto simplificará las cosas—, es decir, cuando la función distancia al cuadrado $f(x,y,z)=(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2$ toma el valor mínimo.

Es sabido que, definida la función auxiliar $h(x,y,z)=f(x,y,z)-\lambda(g(x,y,z)-1)$ (donde $\lambda$ es el multiplicador de Lagrange asociado a la restricción de los puntos de la esfera), si dicho mínimo (máximo) existe, entonces debe satisfacer las siguientes condiciones: $$\left\{\begin{matrix}\dfrac{\partial\,h}{\partial\,x}=0\\ \dfrac{\partial\,h}{\partial\,y}=0 \\ \dfrac{\partial\,h}{\partial\,z}=0 \\ \dfrac{\partial\,h}{\partial\,\lambda}=0\end{matrix}\right.$$ sistema de ecuaciones en $\{x,y,z,\lambda\}$ el el que $\lambda$ toma el papel de una variable algebraica. Dicho de otro modo, $$\left\{\begin{matrix} \dfrac{\partial\,f}{\partial\,x}-\lambda\,\dfrac{\partial\,g}{\partial\,x}=0 \\ \dfrac{\partial\,f}{\partial\,y}-\lambda\,\dfrac{\partial\,g}{\partial\,y}=0 \\ \dfrac{\partial\,f}{\partial\,z}-\lambda\,\dfrac{\partial\,g}{\partial\,z}=0 \\ x^2+y^2+z^2-1=0 \end{matrix}\right.$$ y, calculando las derivadas parciales, llegamos a $$\left\{\begin{matrix} 2\,(x-1)-2\,\lambda\,x = 0 \\ 2\,(y-1)-2\,\lambda\,y = 0 \\ 2\,(z-1)-2\,\lambda\,z = 0 \\ x^2+y^2+z^2-1=0 \end{matrix}\right.$$ o lo que es lo mismo, $$\left\{\begin{matrix} (1-\lambda)\,x= 1 \\ (1-\lambda)\,y= 1 \\ (1-\lambda)\,z= 1 \\ x^2+y^2+z^2-1=0 \end{matrix}\right.$$ por tanto $$x=y=z=\dfrac{1}{1-\lambda}\,,\,\lambda\neq 1$$ Substituyendo en la cuarta ecuación, $$3\,\left(\dfrac{1}{1-\lambda}\right)^2=1 \Rightarrow (1-\lambda)^2=3 \Rightarrow \lambda=1\pm \sqrt{3}$$ Luego, los puntos de máximo/mínimo son $$(x^*,y^*,z^*)=\left\{\begin{matrix}A(1/\sqrt{3},1/\sqrt{3},1/\sqrt{3})\\ B(-1/\sqrt{3},-1/\sqrt{3},-1/\sqrt{3}) \end{matrix}\right.$$ Puede comprobarse es el punto de la superfice esférica que se encuentra a la mínima distancia de $P$, mientras que $B$ es el punto de la superficie esférica que tiene una distancia máxima a $P$.$\diamond$

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Referencias:

  [1] J.E. Marsden; E.J. Tromba, Cálculo vectorial, Pearson Educación S.A., Madrid, 2004.
  [2] vv.aa., Multiplicadors de Lagrange               [https://ca.wikipedia.org/wiki/Multiplicadors_de_Lagrange], Wikipedia, 2022.
  [3] H. Goldstein, Mecánica clásica, Reverté, Barcelona, 1990.

Ejemplos de resolución de EDOs lineales de segundo orden de coeficientes constantes, no homogéneas

En este ejemplo, muestro el proceso de resolución de tres ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden no homogéneas:
  a) $y^{''}+3y^{'}+2=x+1$
  b) $y^{''}-2y^{'}+1=4x-3$
  c) $y^{''}+y^{'}+1=x^2+2$
Recuérdese que primero se resuelve la EDO lineal homogénea, encontrando su solución, $y_H$; a continuación, hay que encontrar una solución particular $y_P$ de la EDO no homogénea. Finalmente, la solución general de la EDO lineal no homgénea viene dada por $y_G=y_H+y_P$.

(a) Resolución de $y^{''}+3y^{'}+2=x+1$

1. La EDO homogénea es $y^{''}+3y^{'}+2=0$; entonces, haciendo $y=e^{\lambda\,x}$, y por tanto: $y^{'}=\lambda\,e^{\lambda\,x}$ e $y^{''}=\lambda^2\,e^{\lambda\,x}$. Sustituyendo en la e. homogénea, encontramos $(\lambda^2+3\,\lambda+2)\,e^{\lambda\,x}=0\,\therefore\, \lambda^2+3\,\lambda+2=0$, encontrando dos valores reales distintos como solución a esa ecuación algebraica, $\lambda=\left\{\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right.$, por consiguiente se sabe que la s. homogénea es del tipo $y_H=C_1\,e^{\lambda_1\,x}+C_2\,e^{\lambda_2\,x}$, esto es, $y_H=C_1\,e^{-x}+C_2\,e^{-2x}$.
2. Procedo ahora a calcular una solución particular de la ecuación general, para lo cual utilizaré el método de los coeficientes indeterminados. Teniendo en cuenta que el segundo miembro es un polinomio de primer grado, ensayamos un polinomio de grado $1$ como una s. particular: $y_P=Ax+B$, con lo cual $y_{P}^{'}=A$ e $y_{P}^{''}=0$. Sustituyendo en la ecuación general, e igualando los coeficientes de los términos de igual grado, se obtiene $0+3A+2\,(Ax+B)=x+1 \, \therefore\, \left\{\begin{matrix}2A=1\\ 3A+2B=1\end{matrix}\right.$, de lo cual se deduce que $A=\dfrac{1}{2}$ y $B=-\dfrac{1}{4}$; por consiguiente, una solución particular de la ecuación general es $y_P=\dfrac{1}{2}\,x-\dfrac{1}{4}$
3. En consecuencia, la solución general de la ecuación diferencial no homogénea (suma de la solución de la e.d. homogénea) y de una solución particular es: $$y=C_1\,e^{-x}+C_2\,e^{-2x}+ \dfrac{1}{2}\,x-\dfrac{1}{4}$$

(b) Resolución de $y^{''}-2y^{'}+1=4x-3$

Éste es un caso en el que, como novedad con respecto al apartado anterior, la solución algebraica a la ecuación en $\lambda$ consta de un sólo valor real, con multiplicidad $2$. Se demuestra que, al igual que la expresión del tipo $e^{\lambda \,x}$, también satisface la ecuación diferencial homogénea la expresión $x\,e^{\lambda\,x}$.

1. La EDO homogénea es $y^{''}-2y^{'}+1=0$; entonces, haciendo $y=e^{\lambda\,x}$, y por tanto: $y^{'}=\lambda\,e^{\lambda\,x}$ e $y^{''}=\lambda^2\,e^{\lambda\,x}$. Sustituyendo en la e. homogénea, encontramos $(\lambda^2-2\,\lambda+1)\,e^{\lambda\,x}=0\,\therefore\, \lambda^2-2\,\lambda+1=0$, encontrando un sólo valor real, $\lambda=1$ (con multiplicidad $2$), como solución a la ecuación algebraica, por consiguiente se sabe que la s. homogénea es del tipo $y_H=C_1\,e^{\lambda\,x}+C_2\,x\,e^{\lambda\,x}$, esto es, $y_H=C_1\,e^{x}+C_2\,x\,e^{x}$.
2. Procedo ahora a calcular una solución particular de la ecuación general, para lo cual utilizaré el método de los coeficientes indeterminados. Teniendo en cuenta que el segundo miembro es un polinomio de primer grado, ensayo un polinomio de grado $1$ como solución particular: $y_P=Ax+B$, con lo cual $y_{P}^{'}=A$ e $y_{P}^{''}=0$. Sustituyendo en la ecuación general, e igualando los coeficientes de los términos de igual grado, se obtiene $0-2A+Ax+B=4x-3 \, \therefore\, \left\{\begin{matrix}A=4\\ -2A+B=-3\end{matrix}\right.$, de lo cual se deduce que $B=5$; por consiguiente, una solución particular de la ecuación general es $y_P=4\,x-5$
3. En consecuencia, la solución general de la ecuación diferencial no homogénea (suma de la solución de la e.d. homogénea) y de una solución particular es: $$y=C_1\,e^{x}+C_2\,x\,e^{x}+ 4\,x-5$$

(c) Resolución de $y^{''}+y^{'}+1=x^2+2$

Este último apartado del ejercicio presenta el caso más interesante de los tres, pues, a diferencia de los otros dos, la solución algebraica a la ecuación en $\lambda$ consta de dos valores complejos conjungados. La expresiones del tipo $e^{\lambda_1 \,x}$ y $e^{\lambda_2 \,x}$, siguien satisfaciendo la ecuación diferencial homogénea; sin embargo, habrá que hacer algunos arreglos que veremos a continuación.

1. La EDO homogénea es $y^{''}+y^{'}+1=0$; entonces, haciendo $y=e^{\lambda\,x}$, y, derivándola dos veces: $y^{'}=\lambda\,e^{\lambda\,x}$ e $y^{''}=\lambda^2\,e^{\lambda\,x}$, como en los demás casos. Sustituyendo en la e. homogénea, encontramos $(\lambda^2+\lambda+1)\,e^{\lambda\,x}=0\,\therefore\, \lambda^2+\,\lambda+1=0$, cuyas soluciones son, $\lambda_1=\dfrac{-1+i\,\sqrt{3}}{2}$ y $\lambda_1=\dfrac{-1-i\,\sqrt{3}}{2}$, por consiguiente se sabe que la s. homogénea, que es del tipo $y_H=C_1\,e^{\lambda_1\,x}+C_2\,x\,e^{\lambda_2\,x}$, es $y_H=C_1\,\,e^{-x/2}\,e^{i\,\sqrt{3}/2\,x}+C_2\,\,e^{-x/2}\,e^{-i\,\sqrt{3}/2\,x}$, que, por la fórmula de Euler, puede escribirse de la forma $y_H=C_1\,\,e^{-x/2}\,\left( \cos(\dfrac{ \sqrt{3}}{2}\,x)+i\,\sin(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,x)\right)+C_2\,\,e^{-1/2}\,\left( \cos(\dfrac{ \sqrt{3}}{2}\,x)-i\,\sin(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,x)\right)=$
     $=e^{-x/2}\left( (C_1+C_2)\,\cos( \dfrac{ \sqrt{3}}{2}\,x ) + i\,(C_1-C_2)\,\sin( \dfrac{ \sqrt{3}}{2}\,x )\right)$. Desde luego, las constantes arbitrarias $C_1$ y $C_2$ pueden ser complejas, y por tanto, conllevan cuatro cantidades desconocidas (las dos partes reales y las dos partes imaginarias), que no pueden ser independientes entre sí. Para salvar esta pega elegimos dichas constantes (arbitrarias), de manera que una sea la compleja conjugada de la otra, por lo que podemos expresar esas cuatro cantidades como dos constantes reales haciendo $A\overset{.}{=}C_1+C_2$ y $B\overset{.}{=}(C_1-C_2)\,i$. Mediante esta estratagema, podemos escribir la solución a esta e. diferencial homogénea de la forma $$y_H=e^{-x/2}\,\left(A\,\cos(\dfrac{ \sqrt{3}}{2}\,x)+B\,\sin(\dfrac{ \sqrt{3}}{2}\,x)\right)$$ espresión que también puede ponerse de otra manera equivalente que puede resultar práctica en según que casos; se trata de multiplicar y dividir por $\mu\overset{.}{=}\sqrt{A^2+B^2}$ en el segundo miembro de la igualdad anterior; de esta forma, $y_H=\mu\,e^{-x/2}\,\left(\dfrac{A}{\mu}\,\cos(\dfrac{ \sqrt{3}}{2}\,x)+\dfrac{B}{\mu}\,\sin(\dfrac{ \sqrt{3}}{2}\,x)\right)$, pues interpretando $\mu$ como el módulo de un cierto vector, por significado trigonométrico, aparece una cantidad (angular) $\lambda$ que nos viene bastante bien y que cumple que $\dfrac{A}{\mu}=\sin\,(\delta)$ y $\dfrac{B}{\mu}=\cos\,(\delta)$. Así, de forma equivalente, podremos escribir también: $$y_H=\mu\,e^{-x/2}\,\left(\sin(\delta)\,\cos(\dfrac{ \sqrt{3}}{2}\,x)+\cos(\delta)\,\sin(\dfrac{ \sqrt{3}}{2}\,x) \right)=\mu\,e^{x/2}\,\,\sin(\dfrac{ \sqrt{3}}{2}\,x+\delta)$$ donde, ahora, con estas transformaciones algebraicas, las constantes arbitrarias son $\mu$ y $\delta$, pudiendo interpretar esta última como un ángulo de fase.
2. Procedo ahora a calcular una solución particular de la ecuación general, para lo cual utilizaré el método de los coeficientes indeterminados. Teniendo en cuenta que el segundo miembro es un polinomio de segundo grado, ensayo un polinomio de grado $2$ como solución particular: $y_P=Ax^2+Bx+C$, con lo cual $y_{P}^{'}=2Ax+B$ e $y_{P}^{''}=2A$. Sustituyendo en la ecuación general, e igualando los coeficientes de los términos de igual grado, se obtiene $y^{''}+y^{'}+1=x^2+2 \, \therefore\, \left\{\begin{matrix}A=1\\ 2A+B=0 \\ 2A+B+C=0\end{matrix}\right.$, de lo cual se deduce que $B=-2$ y $C=2$; por consiguiente, una solución particular de la ecuación general es $y_P=x^2-2x+2$
3. En consecuencia, la solución general de la ecuación diferencial no homogénea (suma de la solución de la e.d. homogénea) y de una solución particular es: $$y=\mu\,e^{x/2}\,\,\sin(\dfrac{ \sqrt{3}}{2}\,x+\delta)+ x^2-2x+2$$

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Referencias:

  [1] N. Piskunov, Cálculo diferencial e integral, Montaner y Simón, S.A., Barcelona, 1978.
  [2] A. Kiseliov, M. Krasnov, G. Makarenko, Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias; tercera edición traducida al castellano. Editorial Mir, Moscú, 1979.
  [3] J.B. Marion, Mecánica clásica de las partículas y sistemas, Reverté, Barcelona, 1998.

Humildes geranios

Altafulla, primavera de 2022 $\diamond$

Acerca de la constante de Euler-Mascheroni

Hace un par de días, leí un artículo de Wikipedia acerca de la misteriosa constante de Euler-Mascheroni (véase [1]) que me sorprendió, pues desconocía su existencia —a la fecha, se desconoce si es un número trascendente o algebraico, y tampoco se sabe si es racional o irracional—, que relaciona la serie armónica y el logaritmo natural, además de con una integral impropia de primera especie en cuyo integrando aparece la función piso: $$\displaystyle \gamma = \lim_{n\rightarrow \infty}\,\sum_{k=1}^{n}\,\left(\dfrac{1}{k}-\ln(n)\right)=\int_{1}^{\infty}\,\left( \dfrac{1}{\left \lfloor x \right \rfloor} - \dfrac{1}{x}\right)\,dx = -\int_{0}^{\infty}\,\dfrac{\ln(x)}{e^x}\,dx \approx 0,\,57721\,56649\,01532\,\ldots$$ Esta constante nos la podemos encontrar en el cálculo de algunas integrales impropias en las que intervenga la función piso. Aparece conectada con muchas objetos matemáticos, como es el caso de la función Gamma, la función zeta de Riemann, la transformada de Laplace del logaritmo natural, entre otros muchos y diversos. Ciertamente, sorprendente y muy interesante. $\diamond$

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Lecturas recomendadas para profundizar un poco:
  [1] https://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Euler-Mascheroni
  [2] https://www.gaussianos.com/la-constante-de-euler-mascheroni/

Fotografía matemática compulsiva: matrices y submatrices

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Divisors d'un nombre enter no negatiu. Un exercici de programació amb l'eina GNU MAXIMA

    Si us agrada programar una mica és un bon exercici escriure una senzilla línia d'instruccions amb MAXIMA per escriure la llista de nombres divisors d'un nombre enter no negatiu donat:
    (%i1) for i:1 thru 30 do (if mod(30,i)=0 then print(i));
Obtindrem ràpidament tots el divisors: {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
Potser convindreu que no té molt d'interès perquè, de fet, el nombre que hem posat és molt petit. Ara bé, i si fos, posem pel cas, 1452 ? Deu n'hi do de la feinada que tindrem si ho fem amb paper i llapis, fins i tot, fent-ho d'una manera exhaustiva amb l'ajut d'un diagrama d'arbre tal com vaig explicar en un article anterior. Modificant la dada, obtindrem el resultat amb un dit i fet
    (%i2) for i:1 thru 1452 do (if mod(1452,i)=0 then print(i));
... 1 2 3 4 6 11 12 22 33 44 66 121 132 242 363 484 726 1452

I encara molt millor si escrivim una funció amb un paràmetre d'entrada per no haver d'escriure cada vegada la instrucció repetitiva:

    (%i3) troba_divisors(n):=(
for i:1 thru n do (if mod(n,i)=0 then print(i))
)$


Funció que farem servir concretant el nombre del qual volem trobar els divisors:

    (%i4) troba_divisors(235456);

Aquest és el resultat del càlcul:
1 2 4 8 13 16 26 32 52 64 104 208 283 416 566 832 1132 2264 3679 4528 7358 9056 14716 18112 29432 58864 117728 235456

Val a dir, però, que MAXIMA disposa ja d'una funció predefinida divisors(). No cal programar-ne un altra. El que m'ha mogut a escriure-la és només per exposar un exercici elemental de programació. La funció predefinida és més eficaç que la que he escrit perquè l'algorisme emprat per MAXIMA és molt millor. Comproveu-ho. Us adonareu que el resultat amb la funció divisors() s'obté molt més ràpidament i, a més, estructurat com una llista:


    (%i5) divisors(235456);

    (%o5){1,2,4,8,13,16,26,32,52,64,104,208,283,416,566,832,
1132,2264,3679,4528,7358,9056,14716,18112,29432,58864,117728,235456}
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La identidad de Bézout

El lema de Bézout

Un resultado básico relacionado con el máximo común divisor de dos números (enteros), distintos de cero, $a,b$ —y lo notaremos de la forma $(a,b)$—, es la denominada identidad de Bezout (lema de Bezout), que dice así:

  Sea $\mathbb{Z} \ni d=(a,b)$, entonces existen dos números enteros $x,y$, no necesariamente únicos, tales que $d=ax+by \quad \quad (1)$.

Ejemplo. Consideremos los números enteros $2$ y $4$. El máximo común divisor de estos dos números es $d=2$, luego, según el lema de Bézout, existen (infinitas) parejas de números $x$ e $y$, tales que $2=2x+4y$. Nos proponemos encontrar cómo son estas infinitas parejas de números $x,y$.

En un caso general, consideremos dos soluciones particulares $x_1,y_1$ y $x_2,y_2$ de la ecuación $d=ax+by$, y que por tanto se sastisfaga $d=a\,x_1+b\,y_1$ y $d=a\,x_2+b\,y_2$. Entonces, como la estructura algebraica que liga los otros infinitos pares de valores es lineal, estas parejas de números enteros están alineadas en una recta cuyas ecuaciones paramétricas son $\left\{\begin{matrix}x-x_1 = \lambda\,(x_2-x_1)\\y-y_1=\lambda\,(y_2-y_1)\end{matrix}\right.\,; \lambda\in \mathbb{Z}$, o, dicho de otro modo, la solución general vendrá dada por $$\left\{\begin{matrix}x=x_1+ \lambda\,(x_2-x_1)\\y=y_1+\lambda\,(y_2-y_1)\end{matrix}\right.\,; \lambda\in \mathbb{Z}\quad \quad (2)$$ donde $x_2-x_1$ e $y_2-y_1$ son, desde luego, números enteros.

Se puede comprobar sin dificultad que, para toda solución particular$x_p,y_p$ de (1), entonces $x_p+kb$ e $y_p-ka$, para cualquier $k\in \mathbb{R}$, también constituye otra solución particular de la misma ecuación; en efecto $a\,(x_p+kb)+b\,(y_p-ka) = a\,x_p+kab+b\,y_p-kab=a\,x_p+b\,y_p$, y, por tanto, $a\,(x_p+kb)+b\,(y_p-ka)=d$. Entonces, podemos escoger los números enteros $x_2-x_1$ e $y_2-y_1$ de los segundos términos de los respectivos segundos miembros de (2) de la forma $x_2-x_1:=\dfrac{b}{d}$ e $y_2-y_1:=-\dfrac{a}{d}$, habida cuenta de que $\dfrac{b}{d} \in \mathbb{Z}$ y $\dfrac{a}{d}\in \mathbb{Z}$ por ser $d=(a,b)$. Así las cosas, podemos escribir las ecuaciones paramétricas (2) de la forma: $$\left\{\begin{matrix} x=x_1+\lambda\,\dfrac{b}{d} \\y=y_1-\lambda\,\dfrac{a}{d} \end{matrix}\right.\,;\lambda\in \mathbb{Z}$$

Resolvamos ahora el ejemplo concreto que nos hemos planteado. Fácilmente, vemos que una solución particular es $x_1=-1$, $y_1=1$ —en efecto, comprobamos que para estos valores de $x$ e $y$ se satisface (1): $2=2\cdot (-1)+4\cdot 1$—, con lo cual, y según lo que hemos razonado arriba, se tiene que $$\left\{\begin{matrix}x=-1+\dfrac{4}{2}\,\lambda\\y=1-\dfrac{2}{2}\,\lambda\end{matrix}\right.\,; \lambda \in \mathbb{Z}$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}x=-1+2\,\lambda\\y=1-\lambda\end{matrix}\right.\,; \lambda \in \mathbb{Z}$$ Podemos pues encontrar los infinitos pares de valores $x$ e $y$ que son solución de (1) asignando valores arbitraios al parámetro entero $\lambda$. Así, para $\lambda=0$ se obtiene la solución particular de la que hemos partido: $x=-1$ e $y=1$; para $\lambda=1$, $x=1$ e $y=0$; para $\lambda=2$, $x=3$ e $y=-1$; para $\lambda=-1$, $x=-3$ e $y=2$; para $\lambda=-2$, $x=-5$ e $y=3$, etcétera.

Ecuaciones diofánticas lineales

Una utilidad muy importante de la identidad de Bézout es la de formar parte del proceso de resolución de una ecuación diofántica lineal, $cx+dy=k$, con $c,d,k\in \mathbb{Z}$, para encontrar la solución general, a partir de una solución particular, se procede de una forma muy parecida a la que estamos empleando para encontrar las parejas de valores $x,y$ de la igualdad de Bézout, y lo expongo en este otro artículo (de este mismo cuaderno), mediante un ejemplo práctico.$\diamond$

Un sencillo ejercicio sobre bases de numeración

En este sencillo ejercicio, expresaremos $16$ (dado en base $10$) en base $3$.

El conjunto de números con el que debemos expresar una cierta cantidad en base $3$ es $\{0,1,2\}$. Vamos a expresar $16$ en serie de potencias de base $3$. Hecho esto, sabemos que la secuencia de los coeficientes de las potencias (ceros, unos y doses), escritos en el orden de mayor a menor grado del término a que corresponda será la expresión pedida.

Empecemos pues dividiendo $16$ entre $3$. Se obtiene cociente igual a $5$ y resto igual a $1$, por lo que, por el teorema de la división euclídea (t.d.e.), podemos escribir $16=5\cdot 3+1 \quad \quad (1)$; por otra parte, al dividir $5$ entre $3$, obtenemos cociente igual a $1$ y resto igual a $2$, luego por el t.d.e, $5=3\cdot 1+2$, que, sustituido en (1), permite escribir $16=(3\cdot 1+2)\cdot 3+1=3^2+2\cdot 3+1=1\cdot 3^2+2\cdot 3^1+1\cdot 3^0$. En consecuencia, $$16_{10}=121_{3}$$ $\diamond$

La función indicatriz de Euler, el teorema de Euler-Fermat y el pequeño teorema de Fermat

La función indicatriz de Euler

La función indicatriz de Euler es muy importante en teoría de números. La función indicatriz de Euler de un número entero positivo $m$, y se escribe $\varphi(m)$, proporciona el número de números enteros positivos, menores o iguales que $m$, que son coprimos con $m$. En el lenguaje matemático: $\varphi(m):=\text{cardinal}\left(\{n\in \mathbb{N}: (1\le n \le m) \wedge \text{m.c.d.}(m,n)=1\}\right)$. Se demuestra que dicha cantidad es igual a $\displaystyle \varphi(m):=m\,\prod_{p_i|m}\,\left(1-\dfrac{1}{p_i}\right)$; siendo $\{p_i\}$, el conjunto de números primos que dividen a $m$. Así, por ejemplo $\varphi(9)=9\cdot \left(1-\dfrac{1}{3}\right)=9\cdot \dfrac{2}{3}=6$; en efecto, el conjunto de números naturales que cumplen la condición requerida es $\{1,2,4,5,7,8\}$, y, claro está que $\text{cardinal}\left(\{1,2,4,5,7,8\}\right)=6$

El teorema de Euler-Fermat

La función indicatriz de Euler-Fermat aparece por ejemplo en el teorema de Euler-Fermat: Si $a,m \in \mathbb{N}$ son primos relativos, esto es, $\text{m.c.d.}(a,m)=1)$, entonces $a$ es congruente con $1$ módulo $m$: $a^{\varphi(m)} \equiv 1 (\text{mod}\, m)$, y es de gran importancia en el cálculo de congruencias.

El pequeño teorema de Fermat

El teorema de Euler-Fermat generaliza el pequeño teorema de Fermat. El pequeño teorema de Fermat dice así: dado un número $p$, primo, y un número entero $a$, siendo $a$ y $p$ coprimos, esto es $\text{m.c.d.}(a,p)=1$, entonces $a^{p-1}\equiv 1 (\text{mod}\, p)$, afirmación que es equivalente a $a^p ≡ a (\text{mod}\, p)$. Por ejemplo, si $p=3$ y $a=4$, se tiene que el residuo de la división euclídea de $a^p=4^{3-1}=16$ entre $3$ es $1$, como debe ser; esto es, el residuo de la división $4^3=64$ entre $3$ es igual a $4$.

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Observación. Una consecuencia de este teorema es la siguiente: Como al dividir $a^{p-1}$ entre $p$ se obtiene resto igual a $1$, existe un $k\in \mathbb{Z}$ para el cual $a^{p-1}=k\, p +1$, multiplicando por $a$ en cada miembro de la igualdad, se tiene que $a^{p}= k \,p \,a + a$, luego $a^{p} - a$ es múltiplo de $p$ puesto que $k\,a$ és también un número entero.

Ejemplo. Sea $a=9$ y $p=2$ (primo), siendo $(9,2)=1$ y cumpliéndose así las condiciones suficientes del teorema. Comprabamos, en efecto, que $a^p=9^2=81 \mod 2 = 1$, coincidiendo con $a=9 \mod 2 =1$; y, además, $a^p-a \in (\overset{.}{p})$ pues $81-8=72 \in (\overset{.}{2})$.

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Nociones básicas de aritmética modular. Congruencias

La operación módulo, para dos números enteros $a$ y $b$, se define como $a \mod b := \text{residuo}( a \div b)$, entendiendo la división como la división euclídea: dados $a\in \mathbb{Z}$ y $\mathbb{Z}\ni b\neq 0$, entonces $\exists!\,q,r\in \mathbb{Z}$ tales que $a=b\cdot q+r \wedge 0\le r \lt |b|$ . Así por ejemplo, $15 \mod 7 =1$, ya que $8=7\cdot 2+1$; $-6 \mod 7 = 1$ ya que $-6=7\cdot (-1) +1$.

Decimos que dados dos números enteros $m$ y $n$ son congruentes entre sí con respecto a un determinado número entero $p$, y lo escribimos $m \equiv n (\mod p)$ si $m \mod p = n \mod p$, esto es, si las divisiones euclídeas $m \div p$ y $n \div p$ tienen el mismo resto. Así, por ejemplo, $15 \equiv 22 (\mod 7)$ ya que $15 \mod 7 = 1 = 22 \mod 7$. Tambien podemos decir, entre otras muchas cosas, que $15 \equiv -6 (\mod 7)$ ya que $15 \mod 7 = 1 = -6 \mod 7$

Esta operación módulo es muy importante en la teoría elemental de números (o matemática discreta): es necesaria en los cálculos con congruencias y también para entender y probar proposiciones. Como ejemplo práctico podemos subrayar que la matemática discreta es fundamental en el diseño de algoritmos y en programación.

Muchas calculadoras científicas incorporan esta operación, y la secuencia de tecleo suele ser (para el ejemplo que comento): [15 $\rightarrow$ mod $\rightarrow$ 7 $\rightarrow$ = (o EXE)], presentándose el resultado, $1$, en pantalla.

La congruencia cumple dos propiedades básicas. Si $a_1 \equiv a_2 (\mod p)$ y $b_1 \equiv b_2 (\mod p)$, entonces:

• $a_1+b_1 \equiv a_2 + b_2 \,(\mod p)$
• $a_{1}\cdot b_{1} \equiv a_{2} \cdot b_{2}\, (\mod p)$

Por ejemplo, $26 \equiv 19 (\mod 7)$, ya que $26 \mod 7 = 5 = 19 \mod 7$, y $27 \equiv 13 (\mod 7)$ puesto que $27 \mod 7 = 6 = 13 \mod 7$. Por tanto:

• $26+27 \equiv 19+13 (\mod 7)$, esto es, $53 \equiv 32 (\mod 7)$; en efecto: $53 \mod 7 = 4 = 32 \mod 7$
• $26\cdot 27 \equiv 19\cdot 13 (\mod 7)$, esto es, $702 \equiv 247 (\mod 7)$; en efecto: $702 \mod 7 = 2 = 247 \mod 7$

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Álgebra de permutaciones

Permutaciones

Consideremos el conjunto de índices $\{1,2,\ldots,n\}$. Entendemos por permutación una aplicación inyectiva del conunto $\{1,2,\ldots,n\}$ sobre sí mismo, de manera que $1\mapsto i_1$, $2\mapsto i_2$, $\ldots$, $n\mapsto i_n$, y notamos dicha permutación de la forma $i=[i_1,i_2,\ldots,i_n]$. Así, por ejemplo, la permutación $i=[2,4,3,1]$ significa que a $1$ le corresponde el $2$; al $2$ el $4$; al $3$ el $3$ y al $4$ el $1$, esto es, $i_1=2$, $i_2=4$,$i_3=3$ y $i_4=4$.

A partir de $n$ índices podemos obtener $n!$ permutaciones distintas.

Podemos componer dos permutaciones $i=[i_1,i_2,\ldots,i_n]$ y $j=[j_1,j_2,\ldots,j_n]$, obteniendo otra permutación de las $n!$ posibles. Esta nueva permutación, $k$, que resulta la notamos de la forma $(j\circ i)_k$, leyéndose $i$ compuesta con $j$, queriendo significar con ello que actúa primero la permutación $i$ y en segundo lugar la permutación $j$ sobre el resultado de la primera; así $(j \circ i)_k=j_{i_k}$

Ejemplo de permutación con $n=4$
Consideremos $i=[2,4,3,1]$ y $j=[4,2,1,3]$. Entonces $j\circ i$ es otra permutación, $k=(j\circ i)_k=j_{i_k}$ y es tal que:
  $k_1=j_{i_1}=j_2=2$
  $k_2=j_{i_2}=j_4=3$
  $k_3=j_{i_3}=j_3=1$
  $k_4=j_{i_4}=j_1=4$
Es decir, $$j \circ i=[2,3,1,4]$$

El grupo de permutaciones $(\mathcal{P}_n,\circ)$

El conjunto de las permutaciones, $\mathcal{P}$, de $n$ índices con la operación composición (o producto) de permutaciones, $(\mathcal{P}_n,\circ)$, tiene estructura de grupo. En efecto, la operación es interna; se cumple la propiedad asociativa $i\circ (j\circ k) = (i \circ j) \circ k$, para cualesquiera permutaciones $i,j$ y $k$; y, existe elemento neutro, que no es otro que $e=[1,2,\ldots,n]$, habida cuenta de que $e\circ i=i\circ e$ para toda permutación $i\in \mathcal{P}_n$, y dada cualquier permutación, $i$, existe para ésta un elemento simétrico, que designaremos por $i'$ y es tal que $i_m=n$ si y sólo si $i'_n=m$, para cualesquiera valores de índices $n,m\in \{1,2,\ldots,n\}$, por lo que $i \circ i' = i' \circ i = e$. Cabe decir, además, que, para cualesquiera permutaciones $i$ y $j$, no se cumple la propiedad conmutativa: $i\circ j \neq j \circ i$ luego dicho grupo no es conmutativo.

Ejemplo de cálculo de la permutación inversa de una permutación dada
Consideremos la permutación $\mathcal{P}_4 \ni i=[4,1,2,3]$. Entonces, como $1$ está en el segundo lugar en la permutación $i$, esto es, $i'_1=2$, ya que $i_2=1$; razonando de la misma manera, deducimos que $i'_2=3$, puesto que $i_3=2$; $i'_3=4$ (ya que $i_4=4$), y $i'_4=1$, pues $i_1=4$. Por consiguiente la permutación inversa de $i=[4,3,2,1]$ es $i'=[2,3,4,1]$.
Comprobemos que $e=[1,2,3,4]=i'\circ i=i'_{i_k}$ donde $k=1,2,3,4$:
  $i'_{i_1}=i'_4=1=e_1$
  $i'_{i_2}=i'_1=2=e_2$
  $i'_{i_3}=i'_2=3=e_3$
  $i'_{i_4}=i'_3=4=e_4$
y también que, $e=[1,2,3,4]=i\circ i'=i_{i'_k}$ donde $k=1,2,3,4$:
  $i_{i'_1}=i_2=1=e_1$
  $i_{i'_2}=i_3=2$
  $i_{i'_3}=i_4=3$
  $i_{i_4}=i_1=4$

Trasposiciones

Llamamos trasposición al intercambio de dos índices ($r$ por $s$, y $s$ por $r$) sin alterar el lugar del resto de los índices, y lo escribimos de la forma $(r,s)$. Ejemplo: $(2,4)=[1,4,3,2]$. Resulta evidente que la inversa de una trasposición es ella misma ya que $(r,s)=(s,r)$.

Teorema. Toda permutación se puede escribir como un producto (composición) de un número finito de trasposiciones.
Ejemplo
Se considera la permutación $[3,4,2,1]$. Veamos cómo escribirla como un producto de trasposiciones.
$[3,4,2,1]=(1,3)\circ [1,4,2,3]=$
  $=(1,3)\circ (2,4) \circ [1,2,4,3]$
    $=(1,3)\circ (2,4) \circ (3,4)\circ [1,2,3,4]$, que podemos escribir también como
      $[3,4,2,1]=(1,3)\circ (2,4) \circ (3,4)$, puesto que la última permutación que resulta (a la derecha) en el paso anterior $[1,2,3,4]$ es el elemento neutro del producto.

(...) $\diamond$

La función beta, la función gamma y el número $\pi$

La función beta o integral de Euler de primer orden se define como $$\displaystyle \beta(z,w)=\int_{0}^{1}\,x^{z-1}\,(1-x)^{w-1}\,dx$$ donde $z,w\in \mathbb{C}$ y son tales que $\text{Re}(z)\gt 0$ y $\text{Im}(w)\gt 0$. Una propiedad interesante de la misma es la siguiente $$\beta(z,w)=\dfrac{\Gamma(z)\Gamma(w)}{\Gamma(z+w)}$$

Es sabido que $\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$ y $\Gamma(1)=1$ —ahora, en particular, $z,w\in \mathbb{Q}$—, luego $$\beta\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\right)}=\dfrac{\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)}{\Gamma(1)}=\sqrt{\pi}\cdot \sqrt{\pi}=\pi$$ $\diamond$

Integrales impropias de segunda especie

Las integrales impropias de segunda especie son integrales definidas en las que la función integrando tiende a $\pm\infty$ en alguno de los dos límites de integración. Veamos cómo resolverlas con un ejemplo sencillo.

$$\displaystyle \int_{0}^{1}\,\dfrac{dx}{\sqrt{x}}=\displaystyle \lim_{k\rightarrow 0^+}\,\int_{0}^{1}\,\dfrac{dx}{\sqrt{x}}=\displaystyle \lim_{k\rightarrow 0^+}\,\left[2\,\sqrt{x}\right]_{k}^{1}=\displaystyle \lim_{k\rightarrow 0^+}\,\left(2\,\sqrt{1}-2\,\sqrt{k}\right)=\displaystyle \lim_{k\rightarrow 0^+}\,\left(2-2\,\sqrt{k}\right)=2-0=2$$ $\diamond$

Integrales impropias de primera especie

Las integrales impropias de primera especie son integrales definidas en las que alguno de sus dos límites de integración es $\pm\infty$. Veamos cómo resolverlas con un ejemplo sencillo.

$$\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\,\dfrac{dx}{x}=\displaystyle \lim_{k\rightarrow +\infty}\,\left[\ln\,|x|\right]_{1}^k=\displaystyle \lim_{k\rightarrow +\infty}\,\left(\ln\,k-\ln\,1\right)=\displaystyle \lim_{k\rightarrow +\infty}\,\left(\ln\,k-0\right)=\ln\,(\lim_{k\rightarrow +\infty}\,k)=\ln(+\infty)=+\infty$$ $\diamond$

Ejemplo de aplicación de la función gamma a la integración de determinadas funciones

Recordemos la definición de la función gamma de $z\in \mathbb{C}$ $$\displaystyle \Gamma(z)=\int_{0}^{+\infty}\,t^{z-1}\,e^{-t}\,dt$$ la cual extiende el concepto de factorial a los números reales y complejos.

Vamos a utilizarla en este ejercicio para integrar la función real de variable real $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\,x\,e^{x^3}\,dx$. Para ello, partiremos de la definición de la función gamma, siendo ahora $z$ una variable real, por lo que, por claridad, reescribiremos la definición para esta situación particular de la forma $p\in \mathbb{R}$ $$\displaystyle \Gamma(p)=\int_{0}^{+\infty}\,t^{p-1}\,e^{-t}\,dt$$

Para ello, parece natural realizar el cambio de variable $t=x^3$ (con lo cual $x=t^{1/3}$); diferenciando en cada miembro de la igualda: $dx=\dfrac{1}{3}\,t^{-2/3}\,dt$. Así, la integral pedida se puede expresar de la forma $$\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\,x\,e^{x^3}\,dx=\int_{0}^{+\infty}\,\dfrac{1}{3}\,t^{-1/3}\,e^{-t}\,dt=\dfrac{1}{3}\,\int_{0}^{+\infty}\,t^{2/3-1}\,e^{-t}\,dt\overset{p=2/3}{=}\dfrac{1}{3}\,\Gamma\left(\dfrac{2}{3}\right)$$ Nota: $\Gamma(2/3)$ es un número trascendente que aproximadamente es igual a $1,3541$, tal como puede comprobarse con la herramienta en línea WolframAlpha. $\diamond$

¿Por qué $0!=1$?

El factorial $n!$ se define a partir de la función gamma de $z\in \mathbb{C}$ $$\displaystyle \Gamma(z)=\int_{0}^{+\infty}\,t^{z-1}\,e^{-t}\,dt$$ la cual extiende el concepto de factorial a los números reales y complejos.

En particular, para $0\lt p\in \mathbb{R}$ se tiene que $$\displaystyle \Gamma(p)=\int_{0}^{+\infty}\,t^{p-1}\,e^{-t}\,dt$$ y se demuestra que $$\left\{\begin{matrix}\Gamma(p+1)=p\,\Gamma(p) \\ \Gamma(0)=1\end{matrix}\right.$$

Aplicando dicha recursividad, y tomando $p=n\in \mathbb{N}\cup \{0\}$ se llega, en particular, a la noción de factorial de un número entero no negativo $$\Gamma(n+1)=n! =\displaystyle \int_{0}^{\infty}\,t^{n}\,e^{-t}\,dt$$ Así pues $$0!=\displaystyle \int_{0}^{\infty}\,t^{0}\,e^{-t}\,dt=\int_{0}^{\infty}\,e^{-t}\,dt=1$$ $\diamond$

Funciones reales de una variable real. Infinitésimos equivalentes

Definición (infinitésimo).Recordemos que $f(x)$ es un infinitésimo si $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\,f(x)=0$, donde $a$ puede ser, también, $\pm\infty$.

Definición (infinitésimos equivalentes).Dos infinitésimos, $f(x)$ y $g(x)$ son equivalentes si $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\,\dfrac{f(x)}{g(x)}=1$.

Definición (orden relativo de dos infinitésimos).Dos infitésimos $f(x)$ y $g(x)$ tienen el mismo orden si $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\,\dfrac{f(x)}{g(x)}=k\neq 0$. Diremos que $f(x)$ es de mayor orden que $g(x)$ si $k=0$; y, $f(x)$ es de menor orden que $g(x)$ si $k=\pm \infty$. En el caso de que no exista el límite referido se dice que los infinitésimos $f(x)$ y $g(x)$ no son comparables.

Teorema 1. Dos infinitésimo son equivalentes si y sólo si el orden la diferencia es mayor que el orden de ambos.

Teorema 2. La suma de dos infitésimos de distinto orden es equivalente al infinitésimo de menor orden.

Teorema 3 (Sustitución de infinitésimos equivalentes). Sea $\phi(x)$ un infinitésimo. Entonces, si el límite $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\,\phi(x)\,f(x)$, pudiendo ser éste convergente o bien divergente, existe un infinitésimo $\psi(x)$ equivalente a $\phi(x)$ —lo notamos como $\phi(x)\sim \psi(x)$— tal que $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\,\phi(x)\,f(x)=\lim_{x\rightarrow a}\,\psi(x)\,f(x)$$

Teorema 4 (Sustitución de infinitésimos equivalentes). Sea $\phi(x)$ un infinitésimo. Entonces, si el límite $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\,\dfrac{f(x)}{\phi(x)}$, pudiendo ser éste convergente o bien divergente, existe un infinitésimo $\psi(x)$ equivalente a $\phi(x)$ —lo notamos como $\phi(x)\sim \psi(x)$— tal que $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\,\dfrac{f(x)}{\phi(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\,\dfrac{f(x)}{\psi(x)}$$

Los siguientes son infinitésimos equivalentes:

• $\ln(1+x)\sim x$, para $x\rightarrow 0$
• $\ln(x)\sim x-1$, para $x\rightarrow 1$
• $e^x-1\sim x$, para $x\rightarrow 0$
• $a^x-1\sim x\,\ln(x)$, para $x\rightarrow 0$
• $\sin(x)\sim x$, para $x\rightarrow 0$
• $\tan(x)\sim x$, para $x\rightarrow 0$
• $\text{arcsen}(x)\sim x$, para $x\rightarrow 0$
• $\text{arctan}(x)\sim x$, para $x\rightarrow 0$
• $1-\cos(x)\sim \dfrac{x^2}{2}$, para $x\rightarrow 0$
• $(1+x)^m-1\sim mx$, para $x\rightarrow 0$ y $m\gt 1$
• $\sqrt[n]{x+1}\sim \dfrac{x}{n}$, para $x\rightarrow 0$

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Observación. Con variable discreta, para $n\rightarrow \infty$), algunas aproximaciones válidas son:

• $n!\approx \sqrt{2\pi\,n}\cdot n^n\cdot e^{-n}$ (aproximación de Stirling)
• $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,\dfrac{1}{i}\approx \ln\,n+c+\varepsilon$, donde $c$ es una constante y $\varepsilon \overset{n\rightarrow \infty}{\rightarrow} 0$
• $\dfrac{n^p}{a^n}\approx 0$
• $\dfrac{a^n}{n^p} \approx \infty$
• $\dfrac{\log_{a}\,n}{n^p}\approx 0$
• $\sqrt[n]{a}-1\approx \dfrac{\ln\,a}{n}$
• $\ln(a_n+1) \approx a_n$ cuando $a_n\rightarrow 0$
• $\ln\,a_n \approx a_n-1$ cuando $n\rightarrow 1$

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Hay infinitos números primos (Euclides, siglo III a.C.)

Euclides (ca. 325 a. C.,-ca. 265 a. C.) nos dejó una elegante demostración en la proposición número 20 del libro IX de sus Elementos [Hay más números primos que cualquier cantidad propuesta de números primos], que es un bonito ejemplo del uso de la técnica de demostración por contradicción.

Obviando los números primos negativos -que no se conocían en la antigüedad, y que sí incluyo aquí-, la demostración de Euclides es como sigue (empleando ahora el lenguaje moderno): Sean $p_1,p_2,\ldots$ números primos positivos y $\mathcal{P}=\{\pm p_1,\pm p_2,\ldots\}\subset \mathbb{Z}\setminus \{-1,0,1\}$ el conjunto de todos los números primos (positivos y negativos) -números enteros distintos de $0$, $1$ y $-1$ y que no son múltiplos del resto de números enteros-, donde $p_1\ge 2$ (y $-p_1\le -2$). Tomemos como hipótesis lo contrario de lo que queremos demostrar, esto es, partimos del supuesto de que hay un número finito de números primos, siendo el $p_n$ el máximo (y $-p_n$, el mínimo) de dicho conjunto supuestamene finito. A partir de aquí, vamos a ver como llegamos enseguida a una contradicción que nos permitará negar la hipótesis de partida, con lo cual habremos demostrado justo lo contrario de lo que reza ésta, es decir, que el número de números primos es infinto.

Consideremos ahora un número entero $\alpha:=p'_1\cdot p'_2 \cdot \ldots \cdot p'_n+1$, donde cada $p'_i$ ($i=1,\ldots,n$) puede ser igual a $p_i$ o bien a $-p_i$. Como el resto de la división de dicho número entre cualesquiera de los números primos $\{\pm p_1,\pm p_2\,\ldots,\pm p_n\}$ ha de ser igual a $1$, entonces, al ser el resto distinto de $0$, $\alpha$ no puede ser múltiplo de ninguno de los números primos $\pm p_1,\pm p_2 \ldots,\pm p_n$ del conjunto finito con el que hemos hecho la hipótesis de partida, luego $\alpha$ es un nuevo número primo, tal que $|\alpha| \ge p_n$, con lo que llegamos a una contradicción, y hemos terminado. $\square$
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Referencias:
[1]  Euclides: Elementos, Libro IX, proposición número 20

Algunas series de números naturales que aparecen en muchos problemas de combinatoria y probabilidad

Nos proponemos sumar los $50$ primeros términos de las siguientes secuencias de números naturales:
  a) $1,2,3,4,5,\overset{\underbrace{50}}{\ldots},50$
  b) $1,4,9,16,25,\overset{\underbrace{50}}{\ldots},2500$
  c) $1,8,27,64,125,\overset{\underbrace{50}}{\ldots},125000$

Observemos que estas sucesiones se forman de la siguiente manera:
  a) $1,2,3,4,5,\ldots$ es la sucesión de los los números naturales $a_n=n$, y siendo finita en nuestro caso la sucesión, con $n=1,2,3,\ldots,50$, es muy fácil demostrar que, teniendo en cuenta que los términos forman una sucesión aritmética de diferencia igual a $1$, la suma de los $n$ primeros términos de la sucesión de los númros naturales es $1+2+\ldots+n=\dfrac{n\,(n+1)}{2}$. Así pues, $1+2+3+4+5,\overset{\underbrace{50}}{\ldots},50=\dfrac{50\cdot (50+1)}{2}=1\,275$

  b) $1^2,2^2,3^2,4^2,5^2,\ldots,50^2$ es la sucesión $b_n=n^2$, siendo finita la sucesión (como en el caso anterior), con $n=1,2,3,\ldots,50$,con $n=1,2,3,\ldots,50$, esto es la sucesión de los cuadrados de los $50$ primeros números naturales. Por inducción se demuestra fácilmente que la suma de los $n$ primeros términos de dicha sucesión es $1^2+2^2+\ldots+n^2=\dfrac{n\,(n+1)\,(2n+1)}{6}$. Por consiguiente, $1+4+9+16+25+\overset{\underbrace{50}}{\ldots}+2500=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+\overset{\underbrace{50}}{\ldots}+50^2=\dfrac{50\cdot (50+1)\cdot (2\cdot 50+1)}{6}=42\,925$

  c) $1^3,2^3,3^3,4^3,5^3,\ldots,50^3$, es la sucesión finita $c_n=n^3$ con $n=1,2,3,\ldots,50$, esto es la sucesión de los cubos de los $50$ primeros números naturales. Se demuestra fácilmente —también por inducción— que la suma de los $n$ primeros términos de esta sucesión es $1^3+2^3+\ldots+n^3=\dfrac{n^2\,(n+1)^2}{4}$. Por tanto, $1+8+27+64+125+\overset{\underbrace{50}}{\ldots}+125000=1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+\overset{\underbrace{50}}{\ldots}+50^3=\dfrac{50^2\cdot (50+1)^2}{4}=1\,625\,625$
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Cálculo del logaritmo de un número complejo

Vamos a calcular el logaritmo de un número complejo $z=a+ib$, donde $\mathcal{Re}(z)=a$ es la parte real, y $\mathcal{Im}(z)=b$ es la parte imaginaria, siendo $a,b\in \mathbb{R}$.

Para ello, nos conviene primero expresar el número complejo según la forma de Euler: $\displaystyle z=|z|\,e^{i\,\text{Arg}(z)}$, donde $\text{Arg}(z)=\text{arg}(z)+2k\pi$, con $k=0,1,2,\ldots$ (expresado en radianes), tomando el argumento principal, $\text{arg}(z)$, en el intervalo $0 \le \text{arg}(z) \lt 2\pi$, o en otro intervalo de longitud $2\,pi$, como es $-\pi \lt \text{arg}(z) \le \pi$; y, como ya sabemos, $\text{arg}(z)=\text{arctan}\left(\dfrac{\mathcal{Im}(z)}{\mathcal{Re}(z)}\right)=\text{arctan}\,\left(\dfrac{b}{a}\right)$ por consiguiente: $$\text{Arg}(z)=\text{arctan}\,\left(\dfrac{b}{a}\right)+2k\pi;\,\mathbb{Z}\ni k=0,1,2,\ldots$$

Desde luego, el logaritmo pedido es un número complejo $\mathbb{C} \ni w\equiv \ln(z)=c+id$, con $c=\mathcal{Re}(w),d=\mathcal{Im}(w)$, y por supuesto $c,d\in \mathbb{R}$, por lo tanto, $w=\ln\left(|z|\,e^{i\,\text{arg}(z)}\right)=c+id$. Teniendo en cuenta que $\ln\,(e^{i\,\text{Arg}(z)})=i\,\text{Arg}(z)$, se tiene que $$\displaystyle \ln\,(z)=\ln\,|z|+i\,\left(\text{arctan}\left(\dfrac{b}{a}\right)+2k\pi\right);k=0,1,2,\ldots$$ Es decir, $c=|z|$ y $d=\text{arctan}\left(\dfrac{b}{a}\right)+2k\pi$, con $k=0,1,2,\ldots$.

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Ejemplo. Sea $z=2+i$. Nos proponemos calcular $\ln\,z$. Pues bien, $\displaystyle z=\sqrt{5}\,e^{i\,\text{arg}(z)+2k\pi}$ siendo en este caso el argumento principal $0\lt \text{arg}(z)=\text{arctan}(1/2)\lt \pi/2$, ya que tanto la parte real como la parte imaginaria de $z$ son positivas (el afijo de dicho número se encuentra en el primer cuadrante). En consecuencia, $\ln\,z = c+ id$, con $c=\ln\,\sqrt{5}$ y $d=\text{arctan}(1/2)+2k\pi$, con $k=0,1,2,\ldots$, y vemos que, con ayuda de la calculadora, $\sqrt{5}\approx 0,8047$ y $\text{arctan}(1/2) \approx 0,4636\,\text{rad}$, luego el logaritmo pedido es $$\{\sqrt{5}+i\,\text{arctan}(1/2)\,,\,\sqrt{5}+i\,(\text{arctan}(1/2)+2\pi)\,,\,\sqrt{5}+i\,(\text{arctan}(1/2)+4\pi)\,,\,\sqrt{5}+i\,(\text{arctan}(1/2)+6\pi)\,,\,\ldots\}$$ $\diamond$

División de polinomios. Cálculo del polinomio resto sin hacer la división

Consideremos la división de polinomios con coeficientes en $\mathbb{R}$, $$5x^4+x^3+1 \div x^3+x^2-2x$$ ¿Cómo podemos calcular el resto y el cociente de dicha división sin realizar la división, esto es, sin aplicar explícitamente el algoritmo general de la división?.

Recordemos el teorema de la división euclídea de polinomios: dado los polinomios $D(x)$ (p. dividendo) y $d(x)$ (p. divisor), distintos ambos del polinomio cero, y siendo $\text{grado}(D(x)\ge \text{grado}(dx)$, entonces se cumple que $D(x)=d(x)\,c(x)+r(x)$, donde $c(x)$ es el polinomio cociente de dicha división y cuyo grado es $\text{grad}(c(x))=\text{grado}(D(x))-\text{grado}(d(x))$, y el polinomio resto es tal que $\text{grado}(r(x))\le \text{grado}(d(x))$.

En el caso que nos ocupa, el polinomio dividendo es $D(x)=5x^4+x^3+1$ y su grado es $4$, y el polinomio divisor es $d(x)=x^3+x^2-2x$ y su grado es $3$, por lo que el polinomio resto puede llegar a ser de grado $2$, en consecuencia podemos escribir que $r(x)=ax^2+bx+c$, siendo los coeficientes $a,b$ y $c$ números reales —si $D(x)$ fuese múltiplo de $d(x)$, los tres coeficientes serian nulos; en el caso que $r(x)$ fuese de grado $1$, el coeficiente $a$ seria nulo y $b$ no nulo, y de ser de grado $2$, el coeficientes $a$ debería ser no nulo—. Pues bien, según lo dicho deberá cumplirse que $$5x^4+x^3+1=(x^3+x^2-2x)\cdot c(x)+ax^2+bx+c$$ , siendo conscientes de que, si bien sabemos que el grado del polinomio cocientes ha de ser $1$, desconocemos el valor de los coeficientes del mismo.

A pesar de ello, podemos determinar el valor de los coeficientes del polinomio residuo, $a,b$ y $c$, si calculamos las raíces del polinomio divisor $d(x)$, que, fácilmente, vemos que son $-2$, $1$ y $0$. En efecto, como es bien sabido, para cada una de las raíces, el polinomio $c(x)$ se anula, luego al sustituir la indeterminada de los polinomios $D(x)$, $d(x)$, $c(x)$ y $r(x)$, por cada uno de esos valores se llega al siguiente sistema de ecuaciones lineales: $$\left\{\begin{matrix}73&=&4a&-&2b&+&c\\ 7&=&a&+&b&+&c \\ 1&=&&&&+&c\end{matrix}\right.$$

Sustituyendo el valor de $c$ que nos da la última ecuación en las dos primeras, $$\left\{\begin{matrix}72&=&4a&-&2b\\ 6&=&a&+&b\end{matrix}\right.$$ Multiplicando por $2$ ambos miembros de la segunda tenemos el sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}72&=&4a&-&2b\\ 12&=&2a&+&2b\end{matrix}\right.$$ y sumando miembro a miembro ambas ecuaciones se obtiene $6a=84$ y por tanto, $a=14$; sustituyendo ahora en la primera ecuación, $b=6-14=-8$

Concluimos pues que el polinomio resto pedido es $$r(x)=14x^2-8x+1$$ $\diamond$

Calculemos ahora el polinomio cociente $c(x)$. Para ello, recordemos otra vez que, por el teorema de la división (de polinomios) euclídea, se tiene que $D(x)=d(x)\cdot c(x)+r(x)$, y por tanto $$5x^4+x^3+1=(x^3+x^2-2x)\cdot c(x)+ 14x^2-8x+1$$ siendo el grado del polinomio cociente igual a $1$, ya que los grados de los polinomios dividendo y divisor son $4$ y $3$, respectivamente. Así, el polinomio cociente deberá ser de la forma $c(x)=dx+e$, con $d,e\in \mathbb{R}$; es decir, $$5x^4+x^3+1=(x^3+x^2-2x)\cdot (dx+e)+ 14x^2-8x+1$$ esto es $$5x^4+x^3+1=dx^4++dx^3-2dx^2+ex^3+ex^2-2ex+14x^2-8x+1$$ y agrupando los términos por grados en ambos miembros, se llega a $$\left\{\begin{matrix}5=d\\d+e=1\\-2d+e+14=0\\-2e-8=0\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}d=5\\e=-4\end{matrix}\right.$$ con lo cual $$c(x)=5x-4$$ $\diamond$

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Observación 1: En el caso de que el polinomio divisor $d(x)$ no tenga raíces reales, podemos seguir el mismo procedimiento operando con las raíces complejas, como es bien fácil comprobarlo con algún ejemplo sencillo: pongamos que con $d(x)=x^2+1$.

Observación 2: Hallar el resto y el cociente sin hacer la división, puede ser interesante en los casos en los que el grado del polinomio dividendo sea mucho mayor que el grado del polinomio divisor, pues de aplicar el algoritmo general de la división, el proceso de cálculo podría ser engorroso y largo.

Consideremos un experimento aleatorio consistente en contestar tres preguntas al azar. La primera consta de dos opciones; la segunda de tres, y la tercera de cuatro. Como cada pregunta se puede o bien acertar (A) o bien fallar (F) independientemente, es razonable construir el espacio muestral formado por las siguientes $2^3=8$ ternas (sucesos elementales):
$\Omega=\{(A_1,F_2,F_3),(F_1,A_2,F_3), (F_1,F_2,A_3), (A_1,A_2,A_3),$ $\quad \quad \quad (F_1,F_2,F_3), (A_1,A_2,F_3), (A_1,F_2,A_3), (F_1,A_2,A_3)\}$
Nos gustaría calcular el valor esperado del número de preguntas acertadas al realizar este experimento aleatorio, y ponderar así la posibilidad de que un alumno que realice dicho test contestando las preguntas al azar salga airoso de la prueba.

Para ello, definamos la variable aleatoria $X$ que da cuenta del número de aciertos: $X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$, y cuyo soporte es $\{0,1,2,3\}$, ya que podemos acertar: cero, una, dos, o las tres preguntas.

Entonces, el valor esperado pedido es $$E[X]=0\cdot P(\{X=0\})+1\cdot P(\{X=1\})+2\cdot P(\{X=2\})+3\cdot P(\{X=3\}) \quad \quad \quad (1)$$ donde
$P(\{X=0\})=P((F_1,F_2,F_3))\overset{\text{sucesos independientes}}{=}(1-P(A_1))\cdot (1-P(A_2))\cdot (1-P(A_3))=$ $\quad = (1-\dfrac{1}{2})\cdot (1-\dfrac{1}{3})\cdot (1-\dfrac{1}{4})$
$\quad = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{3}{4}$
$\quad =\dfrac{1}{4}$

$P(\{X=1\})=P((A_1,F_2,F_3) \cup (F_1,A_2,F_3) \cup (F_1,F_2,A_3))\overset{\text{sucesos incompatibles}}{=}$ $\quad =P((A_1,F_2,F_3))+ P((F_1,A_2,F_3)) + P((F_1,F_2,A_3))=$ $\quad \overset{\text{sucesos independientes}}{=}P(A_1)\cdot (1-P(A_2)) \cdot (1-P(A_3))+ (1-P(A_1))\cdot P(A_2)\cdot (1-P(A_3))+$ $\quad \quad +(1-P(A_1))\cdot (1-P(A_2))\cdot P(A_3)$
$\quad =\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{4}$
$\quad =\dfrac{11}{24}$


$P(\{X=2\})=P((A_1,A_2,F_3) \cup (A_1,F_2,A_3) \cup (F_1,A_2,A_3))\overset{\text{sucesos incompatibles}}{=}$ $\quad =P((A_1,A_2,F_3))+ P((A_1,F_2,A_3)) + P((F_1,A_2,A_3))=$ $\quad \overset{\text{sucesos independientes}}{=}P(A_1)\cdot P(A_2) \cdot (1-P(A_3))+ P(A_1)\cdot (1-P(A_2)) \cdot P(A_3)+$ $\quad \quad +(1-P(A_1))\cdot P(A_2)\cdot P(A_3)$
$\quad =\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{4}$
$\quad =\dfrac{1}{4}$


$P(\{X=3\})=P((A_1,A_2,A_3))\overset{\text{sucesos independientes}}{=}P(A_1)\cdot P(A_2) \cdot P(A_3)=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{24}$

Con lo cual, de (1): $$E[X]=0\cdot \dfrac{1}{4}+1\cdot \dfrac{11}{24}+2\cdot \dfrac{1}{4}+3\cdot \dfrac{2}{3}\approx 0,67\,\text{número esperado (medio) de respuestas correctas}$$

Conclusión. Como $0,67 \lt \dfrac{0+3}{2}=1,5$, no se puede confiar en obtener un resultado favorable por parte del alumno si éste realiza esta prueba contestando las preguntas al azar. $\diamond$

Geometrías euclídeas y no-euclídeas

En la escuela y en el instituto se enseña la geometría euclídea, con la que se aprende a calcular distancias, áreas, volúmenes de los cuerpos del mundo en el que funcionan nuestros sentidos. Más adelante, en el bachillerato, se introduce un importante formalismo dentro del aparato euclídeo: la geometría afín; con ella podemos manejar y describir los espacios vectoriales euclídeos, una construcción intelectual de primera importancia para adentrarnos en la gravitación de Newton y el electromagnetismo. Después, en la universidad, los estudiantes de física aprenden a tratar con geometrías que van más allá del mundo euclídeo, y, por otra parte, desde la noción de grupo algebraico, se aprende a estudiar las propiedades de una geometría a través de los invariantes de un conjunto de transformaciones al actuar éstas sobre los objetos de la misma.

Dentro de los constructos euclídeos podemos situar también la geometría proyectiva, cuyo desarrollo abstracto fue iniciado por Desargues en el siglo XVII, en la que el quinto postulado —no hay rectas paralelas en el plano proyectivo, ni planos paralelos en el espacio proyectivo— se sustituye por el importante concepto de punto del infinito; así, como ya sabían muy bien los artistas del Renacimiento (siglos XV-XVI), es posible representar cuerpos de tres dimensiones en un espacio plano de dos dimensiones; en particular, gracias al uso de los llamados puntos de fuga (puntos del infinito). Las técnicas de dibujo en perspectiva no son otra cosa que la aplicación y el principio práctico de la geometría proyectiva.

Sin embargo, las geometrías euclídeas (afín, afín-euclídea, y proyectiva) no son las únicas; al estudiar espacios de soporte no planos, como por ejemplo las superficies esféricas o las hiperbólicas, la geometría ecuclídea ya no puede explicar lo que ocurre en ellas. Valga como ejemplo un hecho que es muy fácil de comprobar: la suma de los ángulos de un triángulo esférico es superior a dos rectos.

Gracias a las geometrías no euclídeas, que niegan el quinto postulado de Euclides, podemos ver el universo físico más allá de lo que percibimos de forma inmediata con nuestros sentidos; así, por ejemplo, la Teoría General de la Relatividad (la teoría de la gravitación de Einstein) se fundamenta en la geometría (no euclídea) de Riemann, la geometría del espacio-tiempo, cuyos casos particulares son la geometría elíptica y la geometría hiperbólica.

Por otra parte, más allá de la distinción entre geometrías euclídeas y no euclídeas, cabe señalar el concepto de geometría basado en las transformaciones algebraicas que Félix Klein propuso a finales del siglo XIX: la geometría según Klein se concibe como el estudio de las actuaciones de un grupo de transformaciones sobre un conjunto de objetos; las propiedades de una geometría son los invarianates de dichas transformaciones. Este paradigma reviste una enorme importancia en física. $\diamond$

Dos cuerpos imposibles

Con la valiosa ayuda de TeXample.net he dibujado estos dos cuerpos imposibles (el ladrillo de Escher y el triángulo de Penrose) a modo de práctica, empleando la herramienta TickZ para LaTeX.

Los códigos son los siguientes:

% Ladrillo de Escher
\documentclass{article}
\usepackage{tikz}

\begin{document}
\begin{center}
    \begin{tikzpicture}[scale=4.5, line join=bevel]
	
      % \a and \b are two macros defining characteristic
      % dimensions of the impossible brick.
      \pgfmathsetmacro{\a}{0.18}
      \pgfmathsetmacro{\b}{1.37}

      \tikzset{%
        apply style/.code={\tikzset{#1}},
        brick_edges/.style={thick,draw=black},
        face_colourA/.style={fill=gray!50},
        face_colourB/.style={fill=gray!25},
        face_colourC/.style={fill=gray!90},
      }

      \foreach \theta/\v/\facestyleone/\facestyletwo in {%
        0/0/{brick_edges,face_colourA}/{brick_edges,face_colourC},
        180/-\a/{brick_edges,face_colourB}/{brick_edges,face_colourC}
      }{
      \begin{scope}[rotate=\theta,shift={(\v,0)}]
        \draw[apply style/.expand once=\facestyleone]  		
          ({-.5*\b},{1.5*\a}) --
          ++(\b,0)            --
          ++(-\a,-\a)         --
          ++({-\b+2*\a},0)    --
          ++(0,-{2*\a})       --
          ++(\b,0)            --
          ++(-\a,-\a)         --
          ++(-\b,0)           --
          cycle;
        \draw[apply style/.expand once=\facestyletwo] 
          ({.5*\b},{1.5*\a})  --
          ++(0,{-2*\a})       --
          ++(-\a,0)           --
          ++(0,\a)            --
          cycle;
        \end{scope}
      }
    \end{tikzpicture}
\end{center}
\end{document}

% Triángulo de Penrose
\documentclass{article}
\usepackage{tikz}

\begin{document}
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}[scale=1, line join=bevel]
	
    % \a and \b are two macros defining characteristic
    % dimensions of the Penrose triangle.		
    \pgfmathsetmacro{\a}{2.5}
    \pgfmathsetmacro{\b}{0.9}

    \tikzset{%
      apply style/.code     = {\tikzset{#1}},
      triangle_edges/.style = {thick,draw=black}
    }

    \foreach \theta/\facestyle in {%
        0/{triangle_edges, fill = gray!50},
      120/{triangle_edges, fill = gray!25},
      240/{triangle_edges, fill = gray!90}%
    }{
      \begin{scope}[rotate=\theta]
        \draw[apply style/.expand once=\facestyle]
          ({-sqrt(3)/2*\a},{-0.5*\a})                     --
          ++(-\b,0)                                       --
            ({0.5*\b},{\a+3*sqrt(3)/2*\b})                -- % higher point	
            ({sqrt(3)/2*\a+2.5*\b},{-.5*\a-sqrt(3)/2*\b}) -- % rightmost point
          ++({-.5*\b},-{sqrt(3)/2*\b})                    -- % lower point
            ({0.5*\b},{\a+sqrt(3)/2*\b})                  --
          cycle;
        \end{scope}
      }	
	  \end{tikzpicture}
  \end{center}
 \end{document} 

-oOo-

Referencias y agradecimientos:
[1] https://texample.net/tikz/examples/