Acerca del fundamento matemático de la navegación hiperbólica, basado en las propiedades de una hipérbola cuyos focos correspondan a las estaciones emisoras

La navegación hiperbólica, para muy largas distancias -muy utilizada antes de la aparición de los sitemas de posicionamiento satelital- consiste básicamente en la recepción por parte de un barco o un avión de señales de radio, con frecuencias del orden de los 100 kHz, emitidos por varias estaciones separadas una gran distancia entre ellas, pongamos que del orden de mil kilómetros, y de manera sincronizada. Al encontrarse el barco a mucha distancia de las dos estaciones emisoras, habrá una diferencia de tiempos pequeña pero apreciable (del orden de milisegundos) en la recepción de estas señales.

Consideremos el plano en el que se encuentran un barco y dos estaciones emisoras. Emplearemos un sistema de ejes de coordenadas cartesianas, con ambos ejes graduados de la misma manera. Las coordenadas de las dos estaciones pongamos que sean $A(500,0)$ y $B(-500,0)$, cantidades que están expresadas en kilómetros. Supongamos que en el momento de recibir las señales, la posición del barco es $P(x_P\,,\,600)$, y la recepción en P de la señal emitida por A se produce 3 ms antes que la que ha emitido B, lo cual significa que, en línea recta, P está más cerca de A que de B; concretamente, dicha diferencia la calculamos fácilmente multiplicando la velocidad de la luz (ondas de radio) por esa diferencia de tiempo: $\ell=(3\times 10^8)\cdot (3\times 10^{-3})=9\times 10^5\;\text{m} = 900\,\text{ km}$.

Pues bien, a partir de las propiedades de la hipérbola, cuya ecuación estándar (centrada en el origen de coordenadas $O(0,0)$) es $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1 \quad (1)$, donde $a=\text{dist}(O,V)=\text{dist}(O,V')$ denotando por $V$ y $V'$ los vértice de la parábola. Vamos a determinar la coordenada x del barco.

Las posiciones de las dos estaciones emisoras corresponden a los focos de una hipérbola. La distancia entre estos dos foco A y B, situados en el eje Ox y equidistantes del origen de coordenadas. El centro de la hipérbola se situa por tanto en el punto medio del segmento $[A,B]$. Entonces, la distancia entre los dos focos A y B, $\text{dist}(A,B)$ -cantidad a la que suele denominarse $2c$, pues $\text{dist}(O,A)=\text{dist}(O,B)=c$- es por tanto $2c=500-(-500)=1000\,\text{km}$, luego $c=\dfrac{1000}{2}=500\,\text{km}$. Por otra parte, la distancia entre el vértice V y el foco A es $c-a$, que es la misma que la distancia entre el foco B y el vértice V'. Trasladando, a partir de B, la distancia $\ell$ sobre el segmento $[A,B]$ es claro que $2(c-a)+\ell=2c \therefore a=\dfrac{\ell}{2}=\dfrac{900}{2}=450\,\text{km}$. Y como la relación que liga los parámetros $a,b$ y $c$ en una hipérbola es $c^2=a^2+b^2$, se deduce que $b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{500^2-450^2}\approx 218\,\text{km}$

En consecuencia, la ecuación de la hipérbola es $\dfrac{x^2}{450^2}-\dfrac{y^2}{218^2}=1$. Y, teniendo en cuenta que $y_P=600$, se tiene que al ser $P$ un punto de dicha hipérbola, sus coordenadas tienen que satisfacer su ecuación, luego $\dfrac{x_{P}^2}{450^2}-\dfrac{600^2}{218^2}=1$; por lo tanto, $x_P=\pm 450 \cdot \sqrt{(600/218)^2-1} \approx \pm 1\,318$, y al estar $P$ más cerca de $A$ que de $B$, discriminamos el resultado negativo (la abscisa que buscamos ha de ser positiva), por tanto la posición de $P$ es $P(1\,318\,,\,600)$.

Nota: En el ejemplo hemos partido del conocimiento previo de una de las dos coordenadas del barco y nos ha bastado una pareja de estaciones emisoras para determinar la otra coordenada. Si, como es habitual, desconocemos las dos coordenadas, podemos valernos de una tercera estación emisora, de manera que tomando las tres estaciones de dos en dos, podremos determinar las ecuaciones de las dos hipérbolas correspondientes, calculando finalmente el punto de intersección de ambas, que ha de corresponder a la posición del barco.

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Una transformación de coordenadas que cambia una recta por una parábola

Consideremos la siguiente transformación de coordenadas: $$(x,y) \overset{T}{\longrightarrow} (\tilde{x},\tilde{y}): \left\{\begin{matrix} \tilde{x}=x^2-xy \\ \tilde{y}=xy\end{matrix}\right.$$ Nos preguntamos cómo se transforma la recta de ecuación $y=x-1$

Una manera sencilla de hacerlo consiste en comenzar escribiendo la ecuación de la recta en forma paramétrica: $$\dfrac{y-0}{1}=\dfrac{x-1}{1}=t \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=t+1 \\ y=t\end{matrix}\right.$$ con lo cual, las ecuaciones de la transformación se escribirán de la forma: $$\left\{\begin{matrix}\tilde{x}=(t+1)^2-t\,(t+1)\\ \tilde{y}=t\,(t+1)\end{matrix}\right.$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}\tilde{x}=t+1 & (1)\\ \tilde{y}=t^2+t & (2)\end{matrix}\right.$$ Despejando el parámetro $t$ de (1), $t=\tilde{x}-1$, y sustituyendo su expresión en (2), obtenemos $$\tilde{y}=(\tilde{x}-1)^2+(\tilde{x}-1)$$ y, simplificando el segundo miembro, llegamos a: $$\tilde{y}=\tilde{x}^2-\tilde{x}$$ Obsérvese que la recta descrita en el sistema de $(x,y)$ corresponde, según la transformación, a una parábola en el sistema $(\tilde{x},\tilde{y})$
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Cálculo de la integral de la función techo de $x$ entre $0$ y un número entero no negativo $m$

Me propongo resolver la siguiente integral indefinida: $$I=\displaystyle \int_{0}^{m}\,\left \lceil x \right \rceil \,dx \quad (\mathbb{Z} \ni m \ge 0)$$

Puesto que si $\mathbb{Z} \ni k=\left \lceil x \right \rceil$, por la definición de dicha función discreta, se tiene que $k-1 \lt x \le k$ $\therefore$ $I=\displaystyle \sum_{k=0}^{m}\,\int_{k-1}^{k}\,k\,dx=\displaystyle \sum_{k=0}^{m}\,k\,\int_{k-1}^{k}\,dx=\displaystyle \sum_{k=0}^{2}\,k\;x|_{k-1}^{k}=\displaystyle \sum_{k=0}^{2}\,k\cdot \left(k-(k-1)\right)=$
  $=\displaystyle \sum_{k=0}^{m}\,k\cdot 1 = \displaystyle \sum_{k=0}^{m}\,k = \dfrac{0+(m+1)-1)\cdot 1}{2}\cdot (m+1)=\dfrac{m\,(m+1)}{2}$, resultado que, tanto si $m$ es par como si es impar, es un número entero positivo, como debe ser, pues la interpretación geométrica del resultado de esta integral, dada la naturaleza de la función del integrando (función techo), es la suma del las áreas de un conjunto de rectángulos adyacentes con bases de longitud la unidad y cuyas alturas respectiva son números naturales consecutivos. $\diamond$

La suma de los $n$ primeros números naturales impares consecutivos es igual al número natural cuadrado perfecto $n^2$

Me propongo demostrar que la suma de toda secuencia de números naturales impares, $a_n=2n+1\; (n=0,1,2,\ldots)$, es un cuadrado perfecto

Primero, hago unas cuantas comprobaciones de tal afirmación: $$S_1=1=1^2$$ $$S_2=1+3=4=2^2$$ $$S_3=1+3+5=9=3^2$$ $$S_4=1+3+5+7=16=4^2$$ $$\ldots$$ $$S_n=1+3+5+7+\ldots+(2n+1)=n^2$$ Eso parece suceder: la suma de los primeros $n$ números impares consecutivos es el cuadrado de un número natural; sin embargo, pretendo probar la proposición. Desde luego, no basta con comprobaciones de este tipo y con escribir lo que se infiere de ellas. Podría probarse mediante el método de inducción, pero, alternativamente, voy recurrir a la naturaleza de progresión aritmética de dicha serie, y, así, esa prueba va a ser muy sencilla. Empezaré escribiendo la suma de un número genérico de términos: $$S_n=\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1}\,(2i+1)$$ Reconociendo que ésta es la suma de $n$ términos consecutivos de una progresión aritmética de diferencia $d=2$ y primer término igual a $1$, como es bien conocido, dicha suma es igual a $$S_n=\dfrac{a_0+a_{n}}{2}\cdot n$$ y teniendo en cuenta que $a_{n}=a_0+d\cdot (n-1)=1+2\cdot (n-1)=2n-1$, se concluye que $$S_{n}=\dfrac{1+(2n-1)}{2}\cdot n=n^2$$ $\diamond$

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A modo de verificación, con la suma de los $6$ primeros números naturales impares consecutivos, $1+3+5+7+9+11$, que, desde luego, haciendo las sumas sucesivas es igual a $36$; y, según la proposición que se ha demostrado, en efecto, así es, habiendo $6$ términos dicha suma es igual $6^2=36$. Podemos pues afirmar así, que, sin necesidad de hacer sumas sucesivas, la suma de los $1\,000$ primeros números impares consecutivos es igual a $1000^2=(10^3)^2=10^6$

La suma $1+3+5+7+\ldots$ es una serie telescópica

Me propongo demostrar que la suma de toda secuencia de números naturales impares es un cuadrado perfecto

Estudiemos la serie $$S_n=\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1}\,(2i+1)$$ Obsérvese que esta serie es, además de aritmética -con lo cual podríamos sumarla de una manera muy sencilla-, es también de tipo telescópico, pues puede reescribirse como la suma de un conjunto de términos positivos y negativos los cuales se anulan por parejas, salvo el primero y el último, que no se anula entre sí, quedando por tanto dicha suma igual al primero más el último. En efecto -y eso es lo que cuesta más de ver-, puede comprobarse que, por ejemplo, que la suma de los cuatro primeros términos, $S_4 = \displaystyle \sum_{i=0}^{3}\,(2i+1)=1+3+5+7$, puede reescribirse de la forma:
  $S_4=1+3+5+7=$
                $=((0+1)-0^2)+(1+1)^2-1^2)+((2+1)^2-2^2)+((3+1)^2-3^2)$
                  $=(1-0)+(4-1)+(9-4)+(16-9)$
                    $=-1+1+4-4+9-9+16$
                  $=16$
                    $=4^2$

Escribiendo la suma genérica para $n$ términos: $$S_n=\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1}\,(2i+1)= \sum_{i=0}^{n-1}\,\left((i+1)^2-i^2\right)=\ldots=n^2$$ Nota: Desde luego, si sumamos la serie mediante la fórmula de la suma de los primeros $n$ términos consecutivos de una progresión aritmética de diferencia $d=2$, primer término $a_0=1$, y $n$-ésimo término $a_n=a_0+(n-1)\,d=1+(n-1)\cdot 2=2n-1$, obtendremos el mismo resultado. Es fácil comprobarlo; en efecto, $$S_{n}=\dfrac{a_0+a_n}{2}\cdot n=\dfrac{1+(2n-1)}{2}\cdot n=\dfrac{2n}{2}\cdot n=n^2$$ $\diamond$

Series numéricas telescópicas

Decimos que una serie es "telescópica" si todos sus términos se cancelan excepto el primero y el último, lo cual facilita enormemente su análisis.

Así, por ejemplo, la suma de la secuencia $$S_4=\displaystyle \sum_{i=1}^{4}\,\dfrac{1}{i\,(i+1)}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{20}$$ puede reescribirse de la forma, $$S_4=(1-\dfrac{1}{2})+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})+(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4})+(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5})=\displaystyle \sum_{i=1}^{4}\,\left(\dfrac{1}{i}-\dfrac{1}{i+1}\right)=\sum_{i=1}^{4}\,(a_i-a_{i+1}) \quad (1)$$ donde, $a_i=\dfrac{1}{i}$ y $a_{i+1}=\dfrac{1}{i+1}$

Es claro que podemos escribir esta suma como $$\left(1+(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2})+(-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3})+(-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4})\right)-\dfrac{1}{5}$$ esto es $$1+(0+0+0)-\dfrac{1}{5}$$ siendo $a_1=1$, $a_2=a_3=a_4=0$, y $a_5=a_{4+1}=\dfrac{1}{4+1}=\dfrac{1}{5}$
Así pues vemos con claridad que el valor de esta suma, que es la de la serie original, es $$1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}$$ es decir, $S_4=a_1-a_{4+1}$, y, para un número $n$ de arbitrario de términos de la serie (1), basta con actualizar dicho valor de $n$ en la fórmula deducida $$S_n=a_1-a_{n+1} \quad (2)$$

En general, se infiere fácilmente que la fórmula de suma (2) es válida para cualquier secuencia telescópica, es decir, para cualquier secuencia/serie que, sea cual sea la expresión de $a_i$, podamos reescribirla de manera equivalente de forma que se cancelen todos los términos de la suma excepto el primero y el último.

Bien, visto ésto, estamos en condiciones de responder con facilidad a la siguiente pregunta: ¿Cuál será por tanto el valor de la suma de infinitos términos (serie infinita) (suma de series telescópicas de infinitos términos? $$\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\,\dfrac{1}{i\,(i+1)}$$ Ya sabemos que podemos escribir esta serie de la forma equivalente: $$\displaystyle S_{\infty}=\sum_{i=1}^{\infty}\,\left(\dfrac{1}{i}-\dfrac{1}{i+1}\right)=\lim_{n\rightarrow \infty}\left((a_1-a_{1+1})+(a_2-a_{2+1})+\ldots+(a_n-a_{n+1})+\ldots\right)=\lim_{n\rightarrow \infty}\,(a_1-a_{n+1})$$ donde, en el caso concreto del ejemplo que nos ocupa, $$S_{\infty}=\lim_{n\rightarrow \infty}\,(1+\dfrac{1}{n+1})=1+0=1$$

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Una integral cuyo integrando es la función irracional $f(x)=\sqrt{x^2+bx+c}$

Voy a resolver la siguiente integral indefinida: $$I=\displaystyle \int\,\sqrt{x^2+bx+c}\;dx$$

Observemos que podemos reexpresar el integrando de la forma:
$\sqrt{x^2+bx+c}=\sqrt{(x+b/2)^2-b^2/4+c}=\sqrt{(x+b/2)^2-(b^2/4-c)}=$   $=\sqrt{b^2/4-c}\,\sqrt{\dfrac{(x+b/2)^2}{b^2/4-c}-1}=\sqrt{b^2/4-c}\,\sqrt{\dfrac{(x+b/2)^2}{(\sqrt{b^2/4-c})^2}-1}=\sqrt{b^2/4-c}\cdot \sqrt{\left(\dfrac{x+b/2}{\sqrt{b^2/4-c}} \right)^2-1} $

Mediante el cambio de variable $\sin(\theta)=\dfrac{x+b/2}{\sqrt{b^2/4-c}}$, se tiene que $\cos(\theta)\,d\theta=\dfrac{1}{\sqrt{b^2/4-c}}\,dx$, y por tanto, $dx=\sqrt{b^2/4-c}\cdot \cos(\theta)\,d\theta$, la integral propuesta es $$I=\displaystyle \int\,(\sqrt{b^2/4-c}) \cdot \sqrt{\sin^2\,(\theta)-1} \cdot (\sqrt{b^2/4-c})\cdot \cos(\theta))\,d\theta=\sqrt{b^2/4-c}\,\int\,\sqrt{\sin^2\,(\theta)-1}\cdot \cos(\theta))\,d\theta=$$ $$=\sqrt{b^2/4-c}\,\int\,\sqrt{1-\cos^2\,(\theta)-1}\cdot \cos(\theta))\,d\theta=\sqrt{b^2/4-c}\,\int\,\sqrt{\cos^2\,(\theta)}\cdot \cos(\theta))\,d\theta=$$ $$=\sqrt{b^2/4-c}\,\int\,\cos\,(\theta)\cdot \cos(\theta))\,d\theta=\sqrt{b^2/4-c}\,\int\,\cos^2\,(\theta)\,d\theta$$ Denotemos ahora $J=\int\,\cos^2\,(\theta)\,d\theta$, integral que podemos resolver mediante el método de integración de por partes: $$\displaystyle J=\int\,\cos(\theta)\,(\cos(\theta)\,d\theta)$$ Sea $u=\cos\,(\theta)$ y $dv=\cos(\theta)\,d\theta)$; entonces $du=-\sin(\theta)\,d\theta$ y $v=\sin(\theta)$, con lo cual $$\displaystyle J=\sin(\theta)\cdot \cos(\theta)-\int\,\sin(\theta)\cdot (-\sin(\theta)\,d\theta)$$ es decir
  $\displaystyle \int\,\cos^2(\theta)\,d\theta=\sin(\theta)\cdot \cos(\theta)+\int\,\sin^2(\theta)\,d\theta$
    $\displaystyle \int\,\cos^2(\theta)\,d\theta =\sin(\theta)\cdot \cos(\theta)+\int\,(1-\cos^2(\theta)\,d\theta=\sin(\theta)\cdot \cos(\theta)+\int\,d\theta -\int\,\cos^2(\theta)\,d\theta$
por lo tanto $$\displaystyle 2\,\int\,\cos^2(\theta)\,d\theta =\sin(\theta)\cdot \cos(\theta)+\int\,d\theta $$ es decir $$2\,J=\sin(\theta)\cdot \cos(\theta)+\int\,d\theta$$ y así, $$J=\dfrac{1}{2}\,\sin(\theta)\cdot \cos(\theta)+\dfrac{1}{2}\,\theta+C_1$$ con lo cual, $$I=\sqrt{b^2/4-c}\cdot \left(\dfrac{1}{2}\,\sin(\theta)\cdot \cos(\theta)+\dfrac{1}{2}\,\theta\right)+C_2$$ que podemos expresar de la forma $$I=\sqrt{b^2/4-c}\cdot \left(\dfrac{1}{2}\,\sin(\theta)\cdot \sqrt{1-\sin^2(\theta)}+\dfrac{1}{2}\,\theta\right)+C_2$$ Deshaciendo ahora el cambio de variable, $$I=\sqrt{b^2/4-c}\cdot \left(\dfrac{1}{2}\,\dfrac{x+b/2}{\sqrt{b^2/4-c}}\cdot \sqrt{1-\left( \dfrac{x+b/2}{\sqrt{b^2/4-c}} \right)^2}+\dfrac{1}{2}\,\text{arcsin}\,\left( \dfrac{x+b/2}{\sqrt{b^2/4-c}} \right)\right)+C$$ $\diamond$

Integrales indefinidas en las que aparecen senos y cosenos

Voy a resolver la siguiente integral indefinida: $$\displaystyle \int\,\dfrac{dx}{\sin(x)+\cos(x)}$$

Denotemos por $I$ a la integral indefinida propuesta. Este tipo de integrales en las que aparecen senos y cosenos suelen resolverse mediante el cambio de variable $\tan(x/2)=u$, entonces $x/2=\text{arctan}(u) \Leftrightarrow x = 2\,\text{arctan}(u) \therefore dx = (2\,\text{arctan}(u))'\,du =\dfrac{2}{1+u^2}\,du \quad (1)$

Por otra parte, $\cos(x)=\cos^2\,(x/2)-\sin^2\,(x/2)=\cos^2\,(x/2)-(1-\cos^2\,(x/2))= 2\,\cos^2\,(x/2)-1$, luego $\cos^2\,(x/2)=\dfrac{\cos\,(x)+1}{2}$ y por tanto $\cos(x/2)=\pm\,\sqrt{\dfrac{\cos\,(x)+1}{2}} \quad (2)$; de ahí, por la identidad fundamental de la trigonometría, deducimos que $\sin^2\,(x/2)=1-\cos^2\,(x/2)=1-\dfrac{\cos\,(x)+1}{2}=\dfrac{-\cos\,(x)+1}{2}$, por lo que $\sin\,(x/2)=\pm\,\sqrt{\dfrac{-\cos\,(x)+1}{2}} \quad (3)$. Dividiendo miembro a miembro (3) entre (2), $\tan\,(x/2)=\sqrt{\dfrac{1-\cos\,(x)}{1+\cos\,(x)}}$; es decir, $u=\sqrt{\dfrac{1-\cos\,(x)}{1+\cos\,(x)}}$, luego $u^2=\dfrac{1-\cos\,(x)}{1+\cos\,(x)}$, esto es $u^2+u^2\,\cos(x)=1-\cos\,(x)$, de donde $\cos\,(x)\,(u^2+1)=1-u^2$, y por tanto, $\cos\,(x)=\dfrac{1-u^2}{1+u^2} \quad (4)$, así que, (otra vez) por la identidad fundamental de la trigonometría, $\sin^2\,(x)=1-\cos^2\,(x)=1-\dfrac{(1-u^2)^2}{(1+u^2)^2}=\dfrac{4\,u^2}{(1+u^2)^2}$, con lo cual, $\sin\,(x)=\dfrac{2\,u}{1+u^2} \quad (5)$

Así, teniendo en cuenta (1), (4) y (5), vemos que $I=\displaystyle \int\,\dfrac{\frac{2\,du}{1+u^2}}{\frac{2\,u}{1+u^2}+\frac{1-u^2}{1+u^2}}=\int\,\dfrac{2\,du}{-u^2+2\,u+1}=$
  $\displaystyle=2\,\int\,\dfrac{du}{-u^2+2\,u+1}=-2\,\int\,\dfrac{du}{u^2-2\,u-1} =-2\,\int\,\dfrac{du}{(u-(1+\sqrt{2}))(u-(1-\sqrt{2}))}$. Denominemos $J$ a esta integral, entonces $I=-2J$. Para resolver $J$, descompongamos la fracción del integrando de la forma $\dfrac{1}{(u-(1+\sqrt{2}))(u-(1-\sqrt{2}))}=\dfrac{A}{(u-(1+\sqrt{2}))}+\dfrac{B}{(u-(1-\sqrt{2}))}$ para lo cual $\left\{\begin{matrix}A+B=0 \\ (1-\sqrt{2})\,A+ (1+\sqrt{2})\,B=1\end{matrix}\right.$, sistema de ecuaciones lineales compatible determinado cuya solución es $A=-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$, $B=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$. Entoces $\displaystyle J=\int\,\dfrac{-\frac{1}{2\sqrt{2}}}{u-(1+\sqrt{2})}\,du+\int\,\dfrac{\frac{1}{2\sqrt{2}}}{u-(1-\sqrt{2})}\,du=$
  $\displaystyle=-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\,\ln(|u-(1+\sqrt{2})|)+\frac{1}{2\sqrt{2}}\,\ln(|u-(1-\sqrt{2})|)+C_1$; por lo tanto la solución de $I$ es $\displaystyle=I=\dfrac{2}{2\sqrt{2}}\,\ln(|u-(1+\sqrt{2})|)-\frac{2}{2\sqrt{2}}\,\ln(|u-(1-\sqrt{2})|)+C_1=$   $\displaystyle=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,\ln(|u-(1+\sqrt{2})|)-\frac{\sqrt{2}}{2}\,\ln(|u-(1-\sqrt{2})|)+C$, y deshaciendo el cambio de variable obtenemos finalmente: $$I\displaystyle=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,\ln(|\tan(x/2)-(1+\sqrt{2})|)-\frac{\sqrt{2}}{2}\,\ln(|\tan(x/2)-(1-\sqrt{2})|)+C$$ $\diamond$

Un ejemplo de aplicación del método de los rectángulos

Consideremos la parábola $y=x^2$. Queremos calcular la longitud del arco de parábola comprendido entreo los puntos de abscisas $3$ y $6$

Haciendo un dibujo esquemático vemos que, por el teorema de Pitágoras, la relación entre los incrementos finitos $\Delta\,s$, $\Delta\,x$ y $\Delta\,y$ es $$(\Delta\,s)^2 \approx (\Delta\,x)^2 + (\Delta\,y)^2$$ dividiendo por $(\Delta\,x)^2$ en ambos miembros, se tiene que $$\dfrac{(\Delta\,s)^2}{(\Delta\,x)^2} \approx 1 + \dfrac{(\Delta\,y)^2}{(\Delta\,x)^2}$$ y por tanto $$(\Delta\,s)^2 \approx \left(1 + \dfrac{(\Delta\,y)^2}{(\Delta\,x)^2}\right) \,(\Delta\,x)^2 $$ Ahora, si $\Delta\,x, \Delta\,y \rightarrow 0$, entonces $\Delta\,s \rightarrow 0$, con lo cual podemos escribir lo anterior con diferenciales en lugar de incrementos finitos, cambiando la relación de aproximadamente igual por la de exactamente igual: $$(ds)^2 = \left(1 + \dfrac{(dy)^2}{(dx)^2}\right) \,(dx)^2 $$ es decir, $$ds = \sqrt{\left(1 + \dfrac{(dy)^2}{(dx)^2}\right)} \,dx $$ que, por la definición de derivada de función, es lo mismo que $$ds = \sqrt{\left(1 + (y'_x)^2\right)} \,dx $$ Entonces, integrando entre los extremos del arco, $A$ y $B$, podemos escribir la longitud del arco como la integral definida $$s_{AB} = \int_{x_A}^{x_B}\, \sqrt{\left(1 + (y'_x)^2\right)} \,dx $$ En el caso que nos ocupa: $$s_{AB} = \int_{3}^{6}\, \sqrt{\left(1 + 4\,x^2 \right)} \,dx$$ Es difícil calcular una primitiva de la función $\sqrt{1 + 4\,x^2}$, por lo que podemos recurrir a un método numérico aproximado, como es, por ejemplo, el método de los rectángulos. Tomaremos, por ejemplo, $10$ intervalos equiespaciados una distancia $h=\dfrac{6-3}{10}=0,3$ , es decir, la suma de las áreas de los $10$ rectángulos de base $h$ y alturas respectivas $\sqrt{1+4\,(x_0+i\,h)^2}\; (i=0,1,2,\ldots,9)$, donde $x_0=3$ y $x_9=6$, será igual aproximadamente a dicha integral definida que queremos calcular. Entonces,
$s_{AB}=\displaystyle \int_{3}^{6}\, \sqrt{\left(1 + 4\,x^2 \right)} \,dx \approx \sum_{i=0}^{9}\,\left(h\,\sqrt{1+4\,(x_0+i\,h)^2}\right) = h\,\sum_{i=0}^{9}\,\sqrt{1+4\,(x_0+i\,h)^2}=$
  $\displaystyle=0,3\,\sum_{i=0}^{9}\,\sqrt{1+4\,(3+0,3\cdot i)^2}$
    $=0,3\,\left(\sqrt{1+4\,(3+0,3\cdot 0)^2}+\sqrt{1+4\,(3+0,3\cdot 1)^2}+\sqrt{1+4\,(3+0,3\cdot 2)^2}+\ldots+\sqrt{1+4\,(3+0,3\cdot 9)^2}\right)$
      $\approx 26,28\,\text{u.a.}\ell.$ (unidades arbitrarias de longitud)

-oOo- Observaciones importantes:

1. La suma anterior puede hacerse cómodamente con la ayuda de una hoja de cálculo
2. Si dividimos el dominio de integración en 10 intervalos elegimos un número mayor de ellos, es evidente que la precisión del resultado será mayor
3. Se demuestra que la cota de error que nos da el método de los rectángulos viene dada por $\Delta = \dfrac{h}{2}\,(x_0-x_9)\cdot M$, donde $M:=\text{máximo}(\{|f'(x)|\})$, siendo $f(x)$ la función del integrando, $f(x)=\sqrt{1+4x^2}$, por lo que $f'(x)=\dfrac{4x}{\sqrt{1+4x^2}}$, pudiéndose comprobar que el máximo absoluto, $M$, de $f'(x)$, es $\text{máximo}(\{|f'(x)|\})=1,99$ (véase la gráfica de la derivada de $f$ en la figura), luego $\Delta=\dfrac{0,3}{2}\cdot (6-3)\cdot 1,99 \approx 0,90$, por lo que el intervalo de incertidumbre en el cálculo aproximado que hemos hecho es $\left[26,28-0,90\quad , \quad 26,28+0,90\right]$; es decir, podemos afirmar que $s_{AB}=26,28 \pm 0,90\, \text{u.a.}\ell.$
   
4. Existen, desde luego, métodos de integración numérica mejores que el sencillo método de los rectángulos

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Un ejercicio para calcular el polinomio interpolador de Lagrange

Sabemos que la gráfica de una cierta función polinómica de grado $2$ pasa por los puntos del plano $A_{0}(1,1)$, $A_{1}(2,2)$ y $A_{2}(4,7)$. Me propongo calcular el polinomio interpolador de Lagrange, dados esos tres puntos.

Voy a utilizar el método de Lagrange para encontrar el polinomio interpolador: $$p(x)=\sum_{i=0}^{2}\,L_{i}(x)\,f(x_i)\quad \text{donde}\quad L_{i}(x)=\prod_{j=0; j\neq i}^{2}\,\dfrac{x-x_j}{x_i-x_j}\,(i=0,1,2)$$ Entonces, $$L_{0}(x)=\dfrac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}=\dfrac{1}{3}\,(x-2)(x-4)$$ $$L_{1}(x)=\dfrac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}=-\dfrac{1}{3}\,(x-1)(x-4)$$ $$L_{2}(x)=\dfrac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}=\dfrac{1}{6}\,(x-1)(x-2)$$ Por lo tanto, $$p(x)=\dfrac{1}{3}\,(x-2)(x-4)-\dfrac{1}{3}\,(x-1)(x-4)+\dfrac{1}{6}\,(x-1)(x-2)=\dfrac{1}{2}\,x^2-\dfrac{1}{2}\,x+1$$

-oOo- Observaciones:

1. Si calculamos la fórmula de la parábola que posa por estos tres puntos, $f(x)=a\,x^2+b\,x+c \quad (1)$, llegaremos al mismo resultado: sustituyendo las coordenadas de cada uno de los puntos en (1) se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales $\left\{\begin{matrix}a+b+c=1\\4a+2b+c=2\\16a+4b+c=7\end{matrix}\right.$, cuya solución es precisamente $a=\dfrac{1}{2}$, $b=-\dfrac{1}{2}$ y $c=1$, que son los coeficientes del resultado obtenido por el método de Lagrange.

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Cálculo de integrales indefinidas con una fracción algebraica como integrando

Nos proponemos resolver la siguiente integral indefinida: $$\int \dfrac{5x+3}{(x-3)(x+4)}\,dx$$

Podemos escribir el integrando como una suma de fracciones con denominadores respectivos igual a los factores del denominador de la expresión original y numeradores $A$ y $B$ (polinomios de grado cero), respectivamente, el valor de los cuales vamos a determinar: $$\dfrac{5x+3}{(x-3)(x+4)}=\dfrac{A}{x-3}+\dfrac{B}{x+4}\,\quad (1)$$ de esta manera, $$\int\,\dfrac{5x+3}{(x-3)(x+4)}\,dx=\int\,\dfrac{A}{x-3}\,dx+\int\,\dfrac{B}{x+4}\,dx$$ y como los segundos miembros son integrales inmediatas, $$\int\,\dfrac{5x+3}{(x-3)(x+4)}\,dx=A\,\ln(|x-3|)+B\,\ln(|x+4|)+C \,\quad(2)\,\text{siendo}\,C\,\text{la constante de integración}$$ Para calcular el valor de los coeficientes $A$ y $B$, de $(1)$ se tiene que $$5x+3=A\,(x+4)+B\,(x-3)$$ esto es $$5x+3=(A+B)\,x+(4\,A - 3\,B) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}A+B=5 \\ 4\,-3\,B=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}A=\dfrac{18}{7} \\ B=\dfrac{17}{7}\end{matrix}\right.$$ Y sustituyendo en $(2)$, $$\int\,\dfrac{5x+3}{(x-3)(x+4)}\,dx=\dfrac{18}{7}\,\ln(|x-3|)+\dfrac{17}{7}\,\ln(|x+4|)+C$$ $\diamond$