μ blog : abril 2021

jueves, 29 de abril de 2021

Paso de parámetros a un applet de JAVA desde una archivo HTML mediante instrucciones de JavaScript

// 
// Joan Aranes Clua (2003)
// Exemple 3.2 Ús de paràmetres i 
// assignació de valor a través del fitxer HTML
// tipus de programa: applet
// fitxer amb el codi font: Exemple.java

import java.awt.*;
import java.applet.*;

public class Exemple extends Applet
{
  String car_1,car_2,car_3;

  public void init()
  {
    car_1=getParameter("param1");
    car_2=getParameter("param2");
    car_3=getParameter("param3");
  }

  public void paint(Graphics g)
  {
    g.drawString(car_1,10,25);
    g.drawString(car_2,20,25);
    g.drawString(car_3,30,25);
  }
}

Després de compilar el fitxer Exemple.java 
(fent %javac Exemple.java) s'obté el fitxer Exemple.class
el qual ja es pot fer servir en una pàgina web. 

El codi HTML bàsic de la pàgina web (Exemple.htm) que crida l'applet és:

<html>
<head><title>  Exemple.htm </title><head>
<body>
  <applet code=Exemple.class width=300 height=100>
    <param name="param1" value="a">
    <param name="param2" value="b">
    <param name="param3" value="c">
  </applet>
</body>
</html>

Diversas maneras de calcular el factorial de un número entero no negativo

program factorial_1;
uses crt;

var x,num,resultat:integer;

begin
  repeat
    clrscr;
    write('entra un nombre enter ');readln(num);

    x:=num;
    resultat:=1;

    while (x<>1) do
      begin
        resultat:=resultat*x;
        x:=x-1;
      end;

    writeln('el factorial de ',num,'  ‚s  ',resultat);

    delay(1000);
  until keypressed;

end.

program factorial_2;
uses crt;

var x,num:integer;
var resultat:longint;

begin
  repeat
    clrscr;
    write('entra un nombre enter ');readln(num);

    x:=num;
    resultat:=1;

    for x:=num downto 1 do
      begin
        resultat:=resultat*x;
      end;

    writeln('el factorial de ',num,'  ‚s  ',resultat);

    delay(1000);
  until keypressed;

end.

program factorial_3;
uses crt;

var x,num,resultat:integer;

procedure fes;
begin
  while (x<>1) do
    begin
      resultat:=resultat*x;
      x:=x-1;
      fes;
    end;
end;


begin
  repeat
    clrscr;
    write('entra un nombre enter ');readln(num);
    x:=num;
    resultat:=1;
    fes;
    writeln('el factorial de ',num,'  ‚s  ',resultat);
    delay(2000);
  until keypressed;
end.

Registro de datos experimentales en un archivo de disco con el lenguaje Pascal

program enregistra_dues_magnituts_experimentals;
uses crt;
var
file_name:string[30];
file_variable:file of real;
i:integer;
magnitud_a,magnitud_b:real;
temps_mesura:integer;

procedure pren_mesures;
begin
   magnitud_a:=random;
   magnitud_b:=random;
end;

begin

clrscr;
randomize;

writeln('durant quant de temps vols adquirir les dades (1..100) s. - ?');
readln(temps_mesura);

writeln('nom del fitxer de disc on les vols guardar ? ');readln(file_name);
assign(file_variable,file_name);
rewrite(file_variable);
for i:=1 to temps_mesura do
    begin
      pren_mesures;
      write(file_variable,magnitud_a,magnitud_b); (* les guarda *)
    end;
close(file_variable);
writeln('...dades guardades...');
repeat until keypressed;
end.

====

program llegeix_fitxer;
uses crt;
var
file_name:string[30];
file_variable:file of real;
i:integer;
a,b:real;

procedure espera;
begin
repeat until readkey=chr(67);
end;

begin
clrscr;
writeln('nom del fitxer de dades ? ');readln(file_name);
assign(file_variable,file_name);
reset(file_variable);
i:=0;
while not eof(file_variable) do
    begin
      i:=i+1;
      read(file_variable,a,b);
      writeln(a:10:2,b:10:2);
      if (i mod 10 = 0) then
        begin
          writeln('prem C per continuar ...');
          espera;
        end;
    end;
close(file_variable);
repeat until keypressed;
end.

Un libro recomendable para iniciarse en el aprendizaje algorítmico de la geometría

Un excelente libro cuya lectura invita a la exploración de objetos geométricos mediante un enfoque algorítmico del veterano lenguaje LOGO ( https://es.wikipedia.org/wiki/Seymour_Papert ) es el de Harold Abelson y Andrea diSesa: Abelson H., diSessa A., Geometría de Tortuga. El ordenador como medio de exploración de las Matemáticas, Ediciones Anaya, 1986.

Acerca del método iterativo de Jacobi para resolver sistemas de ecuaciones lineales

[ fundamento del método de Jacobi | aceleración del método ]

Dos ejercicios de grupos conmutativos (abelianos)

Ejercicio 1.
ENUNCIADO. Demostrar que si todo elemento, $a$, de un grupo $G$ cumple que $a^2=1$ ( es simétrico de sí mismo ), entonces dicho grupo es abeliano ( conmutativo ).

SOLUCIÓN. Sean $a,b \in G$, entonces existe otro elemento $c$ del grupo tal que $ab=c$, que, desde luego cumple $c^2=1$; es decir, $c=c^{-1}$. Así, podemos escribir $$ab=(ab)^{-1}$$ y como $$(ab)^{-1}=b^{-1}\,a^{-1}$$ tenemos que $$ab=b^{-1}\,a^{-1}$$ ahora bien, $b=b^{-1}$ y $a=a^{-1}$, con lo cual $$ab=ba$$ que es a lo que queríamos llegar. $\square$

Ejercicio 2.
ENUNCIADO. Demuéstrese que todo grupo de cuatro elementos es abeliano.

SOLUCIÓN. Debemos distinguir dos casos:
i) Si todo elemento es simétrico de sí mismo, estamos en la situación del problema anterior y, por tanto, ya se ha demostrado que el grupo es abeliano.
ii) Si existe algún elemento, pongamos que $a$, que no sea simétrico de sí mismo, es decir, $a^2 \neq 1$, entonces $o(\langle a \rangle) \neq 2$. Por lo tanto, del teorema de Lagrange ( el orden de $\langle a \rangle $ debe ser un divisor del orden del grupo, que es $4$, sólo caben dos posibilidades: $o(\langle a \rangle)=1$ o bien $o(\langle a \rangle)=4$; la primera posibilidad queda descartada, pues como $a \neq 1$, $o(\langle a \rangle) \succ 1$; así que sólo cabe aceptar la segunda posibilidad, luego $o(\langle a \rangle)=o(G)=4$ y por tanto $G$ es cíclico, luego $G$ es abeliano. $\square$

La conjetura de Collatz ( o c. "3n+1" )

El problema 3n+1 consiste en estudiar el comportamiento de una sucesión de números naturales que empezando por un número natural cualquiera se obtiene a continuación el número 3n+1 si n es impar o bien n/2 si n es par. La conjetura 3n+1 nos dice que empezando con cualquier número natural n y construyendo dicha sucesión, siempre se llega al número 1.

No se ha probado aún dicha conjetura, si bien se ha llegado a demostrar es cierta para números menores o iguales que 16172831301712733 ( abril de 2021 ).

Referencias:
[1] https://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_Collatz, Wikipedia

Arrel d'índex n d'un nombre complex

Considerem un nombre complex $z=a+i\,b$ (amb a i b, donats). Determinarem, tot seguit, el procediment per trobar els n valors de $\sqrt[n]{z}$

podem escriure el nombre complex $z$ de la forma trigonomètrica

$z=r\,(\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha})$

on $r$ n'és el mòdul i $\alpha$ l'angle polar

per altra banda, és obvi que el radical

$\sqrt[n]{z}$

ha de donar també nombres complexos que podem escriure (forma trigonomètrica)

$w=s\,(\cos{\theta}+i\,\sin{\theta})$

(on $s$ n'és el mòdul i $\theta$ l'angle polar)

Per la propietat de reciprocitat, s'ha de complir que si

$w=\sqrt[n]{z}$

llavors

$z=w^n$

i per la fórmula de De Moivre

$w^n=s^n \, (\cos{(n\,\theta)}+i\,\sin{(n\,\theta)}$

per tant

$r\,(\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha})=s^n \, (\cos{(n\,\theta)}+i\,\sin{(n\,\theta)}$

llavors, deduïm que

T$r=s^n$ i, doncs, $s=\sqrt[n]{r}$

i

$n\,\theta_{k}=\alpha + 2k\pi \quad \text{on} \quad k=0,1,2,\ldots,n-1$

d'on, veiem que hi ha n valors com a solució

$\theta_{k}=\dfrac{\alpha+2k\pi}{n} \quad \text{on} \quad k=0,1,2,\ldots,n-1$

Exemple:

Calculem $\sqrt[2]{1+i}$

Tenint en compte que
$r=|\sqrt{2}|$
i
$\alpha=\dfrac{\pi}{4}$
podem escriure l'argument de l'arrel de la forma
$z=|\sqrt{2}|\, (\cos{\dfrac{\pi}{4}}+i\,\sin{\dfrac{\pi}{4}})$

llavors
$s=|\sqrt{\sqrt{2}}|=|\sqrt[4]{2}|$

i

$\theta_{k}=\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+2k\pi}{2} \quad \text{on} \quad k=0,1$

aquests valors de l'angle polar són els següents

$\theta_0=\dfrac{\pi}{8}$

i

$\theta_1=\dfrac{9\,\pi}{8}$

per tant

$\sqrt{(1+i)}=\left\{ \begin{matrix} |\sqrt[4]{2}|\,(\cos{\dfrac{\pi}{8}}+i\,\sin{\dfrac{\pi}{8}}) \\ \\ |\sqrt[4]{2}|\,(\cos{\dfrac{9\,\pi}{8}}+i\,\sin{\dfrac{9\,\pi}{8}}) \\ \end{matrix}\right.$

$\square$

Una manera alternativa de resoldre-ho (viable, tan sols, quan l'índex del radical és igual a 2, com és el cas) és la següent:

Sabem, d'antuvi, que trobarem dos nombres (complexos) del tipus $x+y\,i$

per tant, escriurem que

$\sqrt{1+i}=x+y\,i$

Fent la potència al quadrat d'ambdós membres

$1+i=x^2-y^2 + 2xy\,i$

Llavors, per tal que es compleixi la igualtat caldrà igualar les parts reals dels dos membres, i, naturalment, també les parts imaginàries; obtindrem, per tant, un sistema de dues equacions de variable real

$1=x^2 - y^2 \quad \quad \text{(1)}$

$1=2xy \quad \quad \quad \; \; \text{(2)}$

Aïllant la variable $y$ de (2) i substituint l'expressió resultant en (1) trobem

$4x^4-4x^2-1=0$

equació biquadrada que resoldrem fent el canvi de variable $x^2=t$, transformant-la en una equació de 2n grau

$4t^2-4t-1=0$

que té les següents solucions

$t=\frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$

Desfent, ara, el canvi de variable $x=\sqrt{t}$ arribem a les següents solucions reals (les solucions complexes no les tenim en compte, atès que $x$ representa els valors de la part real de $\sqrt{1+i}$

$x_1=\left|\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}\right|$

i

$x_2=-\left|\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}\right|$

Per cada valor de $x$ obtenim un valor de $y$, atesa la segona equació del sistema plantejat

$y=\frac{1}{2x}$

d'on traiem que

$y_1= \frac{1}{2} \, \left| \sqrt{\frac{2}{1+\sqrt{2}} } \right| $

i

$y_2=-\frac{1}{2}\,\left|\sqrt{ \frac{2}{1+\sqrt{2}}} \right|$

i, per tant, les solucions de $\sqrt{1+i}$ són els nombres complexos

$z_1=\left| \sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}} \right|+\frac{1}{2}\,\left| \sqrt{ \frac{2}{1+\sqrt{2}}} \right|\,i$

i

$z_2=-\left|\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}\right|-\frac{1}{2}\,\left| \sqrt{ \frac{2}{1+\sqrt{2}}} \right|\,i$

$\square$

Justificación de las fórmulas de Eulery de De Moivre a partir de la expresión de un número complejo dado en forma trigonométrica

Dado un número complejo expresado en forma binomial
$z=a+i\,b$
podemos expresarlo de forma trigonométrica
$z=r\,(\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha})$
demostraremos la siguiente igualdad ( que se conoce como fórmula de Euler ):
$$\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha}=e^{i\,\alpha}$$
con lo cual podremos escribir
$r\,\left(\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha}\right)=r\,e^{i\,\alpha}$
por lo que, de aquí, entendemos que se puede expresar un número complejo $z$ de la siguiente forma
$z=r\,e^{i\,\alpha}$
expresión que se conoce como forma polar de $z$

Vamos ahora a justificar dicha expresión

Desarrollando en série de potencias (s. de Taylor) la funciones $\sin{\alpha}$ i $\cos{\alpha}$ alrededor de $\alpha=0$ vemos que

$\sin{\alpha}=\alpha-\dfrac{\alpha^3}{3!}+\dfrac{\alpha^5}{5!}-\ldots + (-1)^{n-1}\,\dfrac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\ldots$

y

$\cos{\alpha}=1-\dfrac{\alpha^2}{2!}+\dfrac{\alpha^4}{4!}-\dfrac{\alpha^6}{6!}+\ldots+(-1)^{n-1}\,\dfrac{x^{2n-2}}{(2n-1)!}+\ldots$

Componiendo la operación

$\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha}$

encontramos

$\big(\alpha-\dfrac{\alpha^3}{3!}+\dfrac{\alpha^5}{5!}-\ldots + (-1)^{n-1}\,\dfrac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\ldots \big)+$
$+i\,\big(1-\dfrac{\alpha^2}{2!}+\dfrac{\alpha^4}{4!}-\dfrac{\alpha^6}{6!}+\ldots+(-1)^{n-1}\,\dfrac{x^{2n-2}}{(2n-1)!}+\ldots\big)$

que puede expresarse de la forma
$1+\dfrac{ix}{1!}+\dfrac{(ix)^2}{2!}+\dfrac{(ix)^3}{3!}+\ldots+\dfrac{(ix)^n}{n!}+\ldots$

la cual coincide con el desarrollo en serie de potencias de la función

$e^{i\,\alpha}$

por lo que podemos escribir

$\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha}=e^{i\,\alpha} \quad \quad (1)$

y de ahí que

$r\,(\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha}) = r\, e^{i\,\alpha}$

y, por tanto, queda justificada la fórmula de Euler

$z=r\,e^{i\,\alpha}$

Observación:
Haciendo $\alpha:=\pi$ en (1), obtenemos la identidad de Euler:
$$-1=e^{i\,\pi}$$
o lo que es lo mismo
$$1+e^{i\,\pi}=0$$

$\square$

-oOo- Justificación de la fórmula de De Moivre:

Dado un número complejo expresado en la forma polar $r\,\left(\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha}\right)=r\,e^{i\,\alpha}$
es inmediato ver que, de las propiedades elementales de la potenciación

$z^n=r^n \, e^{i\,n\,\alpha}$

y, teniendo en cuenta, por lo que, recurriendo otra vez a la fórmula de Euler, se puede escribir también así

$z^n=r^n \, \left( \cos{(n\,\alpha)} +i\,\sin{(n\,\alpha)} \right)$

esto es

$\left( \cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha}\right)^n=\cos{(n\,\alpha)} +i\,\sin{(n\,\alpha)}\, \quad n \in \mathbb{Z} $

fórmula conocida como fórmula de De Moivre

$\square$

Un ejercicio de demostración por contradicción: "el límite de una sucesión convergente és único"

Enunciado:
Demostrar que toda sucesión de números reales convergente tiene límite único.

Planteamiento:
Designamos con la letra $q$ a la proposición: una sucesión de números reales dada és convergente; y, con la letra $p$, la proposición: el límite de una sucesión convergente és único. Pretendemos probar que $p$ es cierta. Para ello, decidimos utilizar la ley de reducción al absurdo, que dice lo siguiente:
$\neg p \wedge (q \wedge \neg q ) \Rightarrow p \quad \quad \quad (*)$

Resolución:
La proposición $q$ viene de la propia definición de límite de una sucesión de números reales: $a_n$ tiende a $l_1$ ( cuando $n \rightarrow \infty$ ) si, para un número real $\epsilon$, podemos encontrar un $n_{\epsilon} \in \mathbb{N}$ de tal forma que $\forall n \ge n_{\epsilon}$ se cumpla que
$\left| l_1 - a_n \right| < \epsilon$. De la definición de sucesión convergente se sigue que $\left| l_1 - a_n \right| = \left| l_1 - l_2 + l_2 - a_n \right| \ge \left| l_1 - l_2 \right| - \left| l_2 - a_n \right| \quad \quad (1)$

Démonos cuenta ahora que, sin perdida de generalidad, podemos escoger el siguiente valor para $\epsilon$
$\epsilon = \dfrac{\left| l_1 - l_2 \right|}{2}$
A continuación, vemos - de (1) - que
$\left| l_1 - a_n \right| \ge 2\,\epsilon - \epsilon$
és decir
$\left| l_1 - a_n \right| \ge \epsilon$
que significa que la sucesión no converge a $l_1$, y, por tanto, se obtiene $\neg q$

Por consiguiente, llegamos (en este punto del razonamiento) a una contradicción, puesto que se da $ q \wedge \neg q $

Y, habida cuenta de la ley (*), queda demostrada la proposición $p$

$\square$

Matriz de una aplicación lineal

Enunciado:
Consideremos una aplicación lineal
$f:\,\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$
dada por
$f(x_1,x_2)=(x_1-x_2\,,\,x_1+2\,x_2,2\,x_1-3\,x_2)$
Determinemos la matriz de dicha aplicación lineal.

Resolución:
Deberá cumplirse el siguiente producte de matrices (que expresa el sistema de ecuaciones lineales)

$M \cdot\begin{pmatrix}\begin{matrix}x_1 \\ x_2 \\ \end{matrix}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\begin{matrix}x_1-x_2 \\ x_1+x_2 \\ 2\,x_1-3\,x_2 \end{matrix}\end{pmatrix}$

Para que ello sea posible, la matriz de la aplicación lineal $M$, debe tener $3$ filas y $2$ columnas, con los siquientes coeficientes:

$M_{3 \times 2}=\begin{pmatrix}\begin{matrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \\ 2 & -3 \end{matrix}\end{pmatrix}$

$\square$

Enunciado:
Calcúlese el siguiente límite:
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\,\dfrac{2^{n+1}+3^{n+1}}{2^{n}+3^{n}}$

Resolución:
Podemos simplificar algo la expresión de la forma
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\,\dfrac{2^{n+1}+3^{n+1}}{2^{n}+3^{n}}=\lim_{n \rightarrow \infty}\,\dfrac{2\cdot 2^{n}+3\cdot 3^{n}}{2^{n}+3^{n}}$

Observemos que al pasar al límite nos encontramos con una indeterminación del tipo $\infty / \infty$
Para resolverla dividiremos el numerador y el denominador por $3^{n}$. Con ello tendremos
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\,\dfrac{2^{n+1}+3^{n+1}}{2^{n}+3^{n}}=\lim_{n \rightarrow \infty}\,\dfrac{2\,\big(\frac{2}{3}\big)^n+3}{\big(\frac{2}{3}\big)^n+1}$
Y, puesto que la base de las potencias es menor que $1$, volviendo a pasar al límite obtenemos el siguiente resultado
$\dfrac{2\cdot 0+3}{0+1}=3$
$\square$

Resumen sobre el tema de sucesiones infinitas de números reales

Definición 1:
Una sucesión infinita de números reales es una función cuyo dominio és $\mathbb{N}$

Definición 2:
Una sucesión $(a_n)$ converge hacia $l$ ( que se representa simbólicamente de la forma $\lim_{n \rightarrow \infty}\,a_n =l$ ) si para todo número real $\epsilon \in \mathbb{R}^{+}$ existe un número natural $n_0$ (que depende de $\epsilon$ ) tal que, para todo número natural $n \ge n_0$, entonces $\left|a_{n}-l\right|$<$ \epsilon$

Teorema 0:
Si una sucesión $(a_n)$ converge, su límite $l$ es único.

Teorema 1:
Sea $f$ una función definida en un intervalo abierto que contiene a $c$, con $\lim_{x \rightarrow c}\,f(x) =l$. Y supóngase que $\{a_n\}$ es una sucesión que cumple:
i) cada $a_n$ pertenece al dominio de $f$
ii) $\forall n \in\mathbb{N}\;, \; a_n \ne c $
iii) $\lim_{n \rightarrow \infty}\,a_{n}=c$
Entonces la sucesión $\{f(a_n)\}$ converge a $l$ ( $\lim_{n \rightarrow \infty}\,f(a_n)=l$ ).
Y, recíprocamente, si esto se cumple para toda sucesión $(a_n)$
que satisfaga las condiciones mencionadas, entonces se cumple $\lim_{x \rightarrow c}\,f(x)=l$

Teorema 2:
Si $(a_n)$ es una sucesión no decreciente y es acotada superiormente [o bien, si una sucesión $\{a_n\}$ es no creciente y es acotada inferiormente ] entonces la sucesión converge.

Lema 1: [1]
Cualquier sucesión $\{a_n\}$ contiene una subsucesión que es o bien no creciente o bien no decreciente

Teorema 4 (de Bolzano-Weierstrass): [2]
Toda sucesión acotada contiene una subsucesión convergente.

Definición 3:
Una sucesión $(a_n)$ es una s. de Cauchy si para todo $\epsilon \in \mathbb{R}^{+}$ existe un número natural $n_0$ tal que, para todo par $m,n \in \mathbb{N}$, si $m,n$<$N$, entonces $| a_m-a_n | \prec \epsilon$.

Teorema 5:
Una sucesión $(a_n) \subset \mathbb{R}$ ( un s. de números reales ) converge si y sólo si es una s. de Cauchy. [3]

Observaciones y comentarios:

[1] Un lema és una propiedad que sirve para aproximarse a la demostración de un teorema

[2] El teorema de Bolzano-Weierstrass suele enunciarse y demostrarse empleando la noción de punto de acumulación. Un punto $x$ se dice que es un p. de acumulación de un conjunto $A$ si para todo $\epsilon \in \mathbb{R}^{+}$ existe un punto $a$ en $A$ tal que $|x-a|$<$\epsilon \; \forall \; a \ne x$.

En topologia, un conjunto se dice que es cerrado si contiene a todos sus puntos de acumulación.

[3] Si una sucesión $(a_n) \subset \mathbb{Q}$ (tiene su recorrido en el cuerpo de números racionales) cabe hacer hincapié en que, si bien se pueda asegurar que siendo convergente es una s. de Cauchy, ésta no és necesariamente convergente en el cuerpo $\mathbb{R}$; por ello se dice que el cuerpo de los números racionales $\mathbb{Q}$ no es un cuerpo completo, a diferencia del de los números reales que sí lo es. Sin embargo, se demuestra (es facil) que toda s. convergente también és una s. de Cauchy.

[4] Propiedades de una sucesión de Cauchy:
1. Toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy
2. Toda sucesión de Cauchy es acotada
3. Criterio de convergencia: Una sucesión de números reales es convergente si y sólo si es una sucesión de Cauchy. Por ello se dice que el conjunto de los números reales es un espacio métrico completo (a diferencia del conjunto de los números racionales)

Referencias:
SPIVAK, M., Calculus, Reverté, Barcelona, 1991

Convergencia de sucesiones infinitas. Significado de $\epsilon$

Con el número real positivo $\epsilon$ cuantificamos el grado de alejamiento de un determinado término $a_n$ de un sucesión convergente del valor de su límite $l$; lógicamente, cuanto más se acerque el valor de $a_n$ a dicho límite, menor será el valor de $\epsilon$.

Estableciendo un cierto paralelismo (salvando las peculiaridades de contenido) con el error de la medida de una determinada magnitud, el valor de un determinado término $a_n$ sería el valor de la medida, $l$ el valor nominal, y $\epsilon$ haría el papel de cota de error absoluto de dicha medida. Por supuesto, cuanto menor sea esta “cota de error”, más se acercará el valor de la “medida” $a_n$ al valor nominal $l$.

Por eso, para probar que una sucesión infinita $(a_n)$ converge a $l$ es necesario elegir primero el “grado de precisión” $\epsilon$ (que debe ser tan pequeño como queramos) y, a continuación, probar que, de acuerdo con ese valor, podamos encontrar un término (lugar – o índice - $n_0 \in \mathbb{N}$) de la sucesión a a partir del cual (los términos $a_n$ con índices $n \ge n_0$), la diferencia entre el valor dichos términos y el valor del límite $l$ sea menor que el grado de precisión elegido $\epsilon$.

miércoles, 28 de abril de 2021

Algunos ejercicios con números complejos

Enunciado:
Demostrar que siendo $z=\cos \,w \Leftrightarrow w=\arccos z$, entonces
$\arccos\,z = -i \, \ln\big( z+i\,\sqrt{z^2-1}\big)$

Solución:
De la fórmula de Euler
$e^{i\,w}=\cos\,w+i\,\sin\,w$
y teniendo en cuenta que
$z=\cos\,w$
y que, por la identidad fundamental de la trigonometria
$\sin\,w=\sqrt{1-z^2}$
tendremos
$e^{i\,\arccos\,z}=z+i\,\sqrt{1-z^2}$
y, sacando logaritmos en cada miembro, podremos escribir
$i\,\arccos\,z=\ln \big(z+i\,\sqrt{1-z^2}\big)$
de donde
$\arccos\,z=\dfrac{1}{i}\,\ln \big(z+i\,\sqrt{1-z^2}\big)$
que es igual a
$\arccos\,z=-i\,\ln \big(z+i\,\sqrt{1-z^2}\big)$
$\square$

Enunciado:
Demostrar que siendo $z=\sin \,w \Leftrightarrow \arcsin z$, entonces
$\arcsin\,z = -i \, \ln\big( \sqrt{1-z^2}+i\,z\big)$

Solución:
De la fórmula de Euler
$e^{i\,w=\cos\,w+i\,\sin\,w}$
y teniendo en cuenta que
$w=\arcsin\,z$
además de la identidad fundamental de la trigonometria
$\sin^2\,w+\cos^2\,w=1$
tendremos
$e^{i\,\arcsin\,z}=\sqrt{1-\sin^2\,w}+i\,\sin\,w$
y habida cuenta de que $\sin\,w=z$,
$e^{i\,\arcsin\,z}=\sqrt{1-z^2\,w}+i\,z$
sacando logaritmos en cada miembro podremos escribir
$i\,\arcsin\,z=\ln \big(\sqrt{1-z^2}+i\,z\big)$
de donde
$\arcsin\,z=\dfrac{1}{i}\,\ln \big(\sqrt{1-z^2}+i\,z\big)$
que es igual a
$\arcsin\,z=-i\,\ln \big(\sqrt{1-z^2}+i\,z\big)$

Nota: Siguiendo procedimientos similares se puede demostrar también que $\text{arctan}\,z=-\dfrac{i}{2}\,\ln\,\left( \dfrac{1+iz}{1-iz} \right)$ y $\text{arccotan}\,z=-\dfrac{i}{2}\,\ln\,\left( \dfrac{z+i}{z-i} \right)$

$\diamond$

Matriz traspuesta. Algunas propiedades

Dada una matriz cuadrada de orden $n$, $A=(a_{ij})$, se define su matriz transpuesta como la matriz que se obtiene al intercambiar filas por columnas,
$A^t=(a_{ji})$

Propiedades básicas:
$(A^t)^t=A$
$(k\,A)^t=k\,A^t$
$(A \pm B)^t=A^t \pm B^t$

Otras propiedades:
$(ABC)^t=C^t\,B^t\,A^t$

Definiciones:
Una matriz $A$ es simétrica si $A^t=A$
Una matriz $A$ es antisimétrica si $A^t=-A$

Si $A$ es una matriz cualquiera, entonces $\dfrac{1}{2}(A+A^t)$ es una m. simétrica y
$\dfrac{1}{2}(A-A^t)$ es una m. antisimétrica. Por lo tanto, toda matriz $A$ puede expresarse como la suma de una m.s. y de una m.a. de la forma:
$A=\dfrac{1}{2}(A+A^t)+\dfrac{1}{2}(A-A^t)$

Más propiedades:
$\det(A^t)^t=\det(A)$

Matrices regulares (no singurales)

Una matriz $A$ es regular o invertible ( también llamada no singular) si tiene matriz bilateral $A^{-1}$, tal que
$A^{-1}\,A=A\,A^{-1}=I$

Dadas dos matrices cuadradas de orden $n$, no singulares, $A=(a_{ij})$ y $B=(b_{ij})$, se cumple

Propiedades básicas:
$AB$ es singular y $(AB)^{-1}=B^{-1}\,A^{-1}$
$A^{-1}$ es no singular y $(A^{-1})^{-1}=A$
$A^t$ es no singular y $(A^t)^{-1}=(A^{-1})^t$
$\det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det(A)}$

Propiedades de la matriz adjunta de un matriz dada

Dada una matriz cuadrada $A$ de orden $n$ ( $A \in \mathcal{M}_{n \times n}$ ) se define su matriz adjunta de la siguiente forma
$\text{adj}(A)=(\alpha_{ij})^t$
donde $\alpha_{ij}$, que se denomina cofactor de $a_{ij}$, se calcula de la forma
$\alpha_{ij}=(-1)^{i+j}\,M_{ij}$ siendo $M_{ij}=\det(A_{ij})$ el menor complementario que se obtiene suprimiendo de $A$ la fila i-ésima y la columna j-ésima.

Propiedades: Si $A$ es una matriz cuadrada de orden $n$, entonces
$\text{adj}(AB)=\text{adj}(A)\,\text{adj}(B)$
$\text{adj}(A \pm B)\neq \text{adj}(A)\pm \text{adj}(B)$
$\text{adj}(A^m)=\big(\text{adj}(A)\big)^m$
$\text{adj}(I)=I$
$\text{adj}(A^t)=(\text{adj}(A))^t$
$A\,\text{adj}(A)=\text{adj}(A)\,A=\det(A)\cdot I$
$\text{adj}\big(\text{adj}(A)\big)=\big(\det(A)\big)^{n-2}\, A$
$\text{adj}(\lambda\,A)=\lambda^{n-1}\,\text{adj}(A)$
$\det(A)=\dfrac{1}{n}\,\text{tr}(A\,\text{adj}(A)$
$\det\big(\text{adj}(A)\big)=\det\big(A^{n-1}\big)$

Propiedad: Cálculo del determinante desarrollando por los adjuntos de una fila
$\det(A)=\sum_{j=1}^{n}\,a_{kj}\,\alpha_{kj}\quad \forall k=1,2,\ldots, n$

Propiedad: Cálculo del determinante desarrollando por los adjuntos de una columna
$\det(A)=\sum_{i=1}^{n}\,a_{ik}\,\alpha_{ik}\quad \forall k=1,2,\ldots, n$

Propiedad: Cálculo de la matriz inversa de una matriz no singular a partir de la la matriz adjunta
$A^{-1}=\dfrac{\text{adj}(A)}{\det(A)}$

Propiedad:
$\text{adj}(A^{-1})=\big(\text{adj}(A)\big)^{-1}$

[matrices con MAXIMA]

Acerca de la propiedad arquimediana

Un grupo conmutativo y totalmente ordenado $(G,+,\le)$ se dice que es arquimediano si verifica la siguiente condición (axioma de Arquímedes): para cualesquiera $a$ y $b$, tales que $a \prec b$, existe un numero natural $n$ tal que $b \prec a+\ldots+a$ ( $n$ veces).

Un anillo totalmente ordenado $(A,+,\times,\le)$ se dice que es arquimediano si verifica la siguiente condición: para cualesquiera $a$ y $b$, tales que $a \prec b$, existe un numero natural $n$ tal que $b \prec n\,a$, que representa la suma de $a$ consigo mismo $n$ veces; ello implica que un anillo $(A,+,\times,\le)$ es arquimediano si el grupo $(A,+,\ge)$ es arquimediano.

Un cuerpo totalmente ordenado $(K,+,\times,\le)$ se dice que es arquimediano si verifica la siguiente condición: para cualesquiera $a$ y $b$, tales que $a \prec b$, existe un numero natural $n$ tal que $b \prec n\,a$, que representa la suma de $a$ consigo mismo $n$ veces; ello implica que un cuerpo $(K,+,\times,\le)$ es arquimediano si el grupo $(K,+,\ge)$ es arquimediano.

Ejemplos de estructuras que poseen la propiedad arquimediana:
$(\mathbb{N},+,\times \ge)$ es un semianillo arquimediano
$(\mathbb{Z},+,\times\ge)$ es un anillo arquimediano
$(\mathbb{Q},+,\times,\ge)$ es un cuerpo arquimediano, pero no és un c. completo (ya que no se cumple $\mathbb{Q}$ en el axioma del supremo )
$(\mathbb{R},+,\times,\ge)$ es un cuerpo arquimediano y, además, es un c. completo, habida cuenta de que cumple también el axioma del supremo.

Axioma del supremo. Cuerpo de los números reales

Sea $E \subseteq \mathbb{R}$, siendo $E \neq \emptyset$ y acotado superiormente. Entonces, $E$ tiene supremo (la menor de las cotas superiores).

De forma análoga se puede decir que si $E \subseteq \mathbb{R}$, siendo $E \neq \emptyset$ y acotado inferiormente. Entonces, $E$ tiene ínifimo (la mayor de las cotas inferiores).

El axioma del supremo, junto con los axiomas 1-12 del cuerpo de los números reales, da completitud y continuidad al conjunto de los números reales ya que garantiza que llenen la recta numérica, sin dejar "agujeros", a diferencia del cuerpo de los números racionales, que no es completo, puesto que éstos no llenan toda la recta numérica.

Observación: Un cuerpo que posea el axioma del supremo es también arquimediano; lo recíproco no es siempre cierto, por ejemplo, el cuerpo de los números racionales $\mathbb{Q}$ es arquimediano pero no se verifica en él el axioma del supremo puesto que no es un cuerpo completo.

Resumen de la topología de R

Sea $A \subset \mathbb{R}$. Diremos que $k_s \in \mathbb{R}$ es una cota superior de $S \subset \mathbb{R}$ si y sólo si $\forall x \in A, x \le k_s$. Diremos también que $k_i \in \mathbb{R}$ es una cota inferior de $S \subset \mathbb{R}$ si y sólo si $\forall x \in S, x \ge k_i$

Diremos que un conjunto $A \subset \mathbb{R}$ es acotado si y sólo si es acotado superior e inferiormente.

Se llama conjunto mayorante de $A \subset \mathbb{R}$ al conjunto de las cotas superiors; la menor de dichas cotas se llama supremo, y, si además, dicho elemento pertenece también a $A$, lo llamamos máximo de $A$.

Se llama conjunto minorante de $A \subset \mathbb{R}$ al conjunto de las cotas inferiores; la mayor de dichas cotas se llama ínfimo , y, si además, dicho elemento pertenece también a $A$, lo llamamos mínimo de $A$.

Intervalo
Definición:
Un conjunto $I \subset \mathbb{R}$ es un intervalo si y sólo si cualesquiera que sean los puntos $x$ e $y$ de $I$ tales que $x \prec y$ se verifica $[x,y]\subset I$

Entorno de $x$
Definición:
Dado un número real $x$, se llama entorno de $x$, y se designa por $N(x)$, a todo intervalo abierto de la forma
$(x-r,x+r)$ donde $r$, que se llama radio del entorno, es un número positivo.

Entorno de reducido de $x$
Definición:
Dado un número real $x$, se llama entorno reducido de $x$, y se designa por $N^{*}(x)$ a $N(x)-\{x\}$.

Conjuntos abiertos
Definición:
Se dice que un conjunto $A \subset \mathbb{R}$ es abierto cuando para cada $x \in A$ existe un intervalo abierto que contiene a $x$ y está contenido en $A$

Proposición:
a) $\emptyset$ y $\mathbb{R}$ son abiertos
b) La unión de cualquier colección de conjuntos abiertos es un conjunto abierto
c) La intersección de cualquier colección finita de conjuntos abiertos es un conjunto abierto

Definición (espacio topológico):
Dado un conjunto $E$ y un colección $\mathcal{T}$ de subconjuntos abiertos de $E$ que cumplen las tres propiedades anteriores se dice que $\mathcal{T}$ define una topologia en $E$. La colección de subconjuntos de $\mathbb{R}$ es una topologia.

( Nota: si $\mathcal{T}$ es el conjunto de las partes de $E$ se habla de una topologia discreta. Si $\mathcal{T}$ solo contiene los elementos $E$ y $\emptyset$ se tiene una topologia trivial ).

Conjuntos cerrados
Definición:
Se dice que un conjunto $A \subset \mathbb{R}$ es cerrado cuando su complementario $\mathbb{R}-A$ es un conjunto abierto

Proposición:
a) $\emptyset$ y $\mathbb{R}$ son cerrados
b) La intersecció de cualquier colección de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado
c) La unión de cualquier colección finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado

Puntos interiores, exteriores y puntos frontera

Punto interior a un conjunto $A \subset \mathbb{R}$:
Diremos que un punto $x \in \mathbb{R}$ es interior a $A \subset \mathbb{R}$ si existe un entorno de $N(x)$ contenido (totalmente contenido) en $A$. El conjunto de todos los puntos interiors se llama interior de $A$ y se designa por $\text{int}(A)$

Punto exterior a un conjunto $A \subset \mathbb{R}$:
Diremos que un punto $x \in \mathbb{R}$ es exterior a $A \subset \mathbb{R}$ si existe un entorno de $N(x)$ contenido (totalmente contenido) en el complementario de $A$, que es $\mathbb{R}-A$. El conjunto de todos los puntos exteriores se llama exterior de $A$ y se designa por $\text{ext}(A)$

Punto frontera de un conjunto $A \subset \mathbb{R}$:
Diremos que un punto $x \in \mathbb{R}$ es un punto frontera de $A \subset \mathbb{R}$ cuando todo entorno de $x$ contiene puntos de $A$ y del complementario de $A$. El conjunto de todos los puntos frontera se llama frontera de $A$ y se designa por $\text{fr}(A)$.

Ejemplo: Si $A$ es un intervalo acotado de extremos $a$ y $b$, entonces:
$\text{int}(A)=(a,b)$
$\text{ext}(A)=(-\infty,a ] \cup [ b,+\infty)$
$\text{fr}(A)=\{a,b\}$

Proposición:
Para cada $A \subset \mathbb{R}$, los conjuntos $\text{int}(A)$, $\text{ext}(A)$, $\text{fr}(A)$ son disjuntos y se cumple
$\mathbb{R}=\text{int}(A)\cup \text{ext}(A)\cup \text{fr}(A)$

Proposición:
Para cada $A \subset \mathbb{R}$, los conjuntos $\text{int}(A)$ y $\text{ext}(A)$, son abiertos y el cojunto $\text{fr}(A)$ es cerrado
$\mathbb{R}=\text{int}(A)\cup \text{ext}(A)\cup \text{fr}(A)$

Puntos adherentes y puntos de acumulación

Punto adherente a un conjunto $A \subset \mathbb{R}$:
Diremos que un punto $x \in \mathbb{R}$ es adherente a $A \subset \mathbb{R}$ cuando todo entorno $N(x)$ contiene puntos de $A$, es decir, si se cumple que para todo $N(x)$ de $x \in \mathbb{R}$, $N(x) \cap A \neq \emptyset$. El conjunto de todos los puntos adherentes a $A$ y se designa por $\text{adh}(A)$ y se llama adherencia o cierre de $A$.

Proposición:
Para cada conjunto $A \subset \mathbb{R}$ el conjunto $\text{adh}(A)$ es el mínimo cerrado que contiene a $A$. Es decir, si $A$ es un conjunto cerrado $\text{adh}(A)=A$.

Propiedades del cierre (adherencia) y del interior de un conjunto $A$:
$\text{adh}(\emptyset)=\emptyset$
$A \subset \text{adh}(A)$
$\text{adh}\big(\text{adh}(A)\big)=\text{adh}(A)$
$\text{adh}(A \cup B)=\text{adh}(A) \cup \text{adh}(B)$
$\text{int}(\mathbb{R})=\mathbb{R}$
$\text{int}(a) \subset \mathbb{R}$
$\text{int}\big(\text{int}(A)\big)=\text{int}(A)$
$\text{int}(A \cap B)=\text{int}(A) \cap \text{int}(B)$

Punto de acumulación de un conjunto $A \subset \mathbb{R}$:
Diremos que un punto $x \in \mathbb{R}$ es punto de acumulación de $A \subset \mathbb{R}$ cuando todo entorno reducido $N^{*}(x)$ contiene puntos de $A$, , es decir, si se cumple que para todo $N^{*}(x)$ de $x \in \mathbb{R}$, $N^{*}(x) \cap A \neq \emptyset$ El conjunto de todos los puntos de acumulación a $A$ se llama conjunto derivado de $A$ y se designa por $\text{ac}(A)$

Ejemplo 1: Si $A=[a,b)$, entonces $\text{adh}(A)=\left[a,b\right]$
Ejemplo 2: Si $A=(a,b)$, entonces $\text{adh}(A)=\left[a,b\right]$
Ejemplo 3 Si $A=\mathbb{N}$, entonces $\text{adh}(A)=\emptyset$

Proposición:
Para cada conjunto $A \subset \mathbb{R}$ se verifica $\text{adh}(A)=A \cup \text{ac}({A})$

Punto aislado de un conjunto $A \subset \mathbb{R}$:
Se dice que un punto $x \in \mathbb{R}$ es punto de aislado de $A \subset \mathbb{R}$ cuando a pesar de ser $x$ de $A$, no es, sin embargo, un punto de acumulació de $A$, es decir, $N^{*}(x)$ no contiene ningún punto de $A$

Observación:
Todo punto de adherencia de $A \subset \mathbb{R}$ es también un punto de acumulación
de $A \subset \mathbb{R}$; sin embargo, lo recíproco no es siempre cierto, ya que podrían haber puntos aislados en $A$; si no los hubiese, es obvio pues sí que se puede afirmar que $\text{adh}(A)=\text{ac}(A)$ ya que, en general, para cada conjunto $A \subset \mathbb{R}$ se verifica $\text{adh}(A)=A \cup \text{ac}{A}$

Proposición:
Un conjunto $A \subset \mathbb{R}$ es cerrado si y sólo si contiene todos sus puntos de acumulación.

Ejemplo:
Dado $A \subset \mathbb{R}$ definido de la forma
$A=\{x \in \mathbb{R} \,:\, x=\dfrac{3n-1}{2n}, \; n\in \mathbb{N}$
¿ Es abierto ? ¿ Es cerrado ?

Solución:
El conjunto dado corresponde a los términos de la sucesión
$\{1\;,\;\frac{5}{4}\;,\;\frac{4}{3},\ldots\}$
Observemos también que la sucesión converge y que el valor del límite del término general (que es igual a $3/2$ ) no corresponde a ningún término de la sucesión; por tanto, al ser el valor de límite un punto de acumulación ( es el único, de hecho, por una de las propiedades estudiadas) y al no pertenecer éste a $A$ deducimos de ésto que $A$ no contiene a todos sus puntos de acumulación (propiedad) y, por consiguiente, $A$ no es un conjunto cerrado.

Veamos si se trata de un conjunto abierto. $A$ será abierto si su complementario $\mathbb{R}-A$ es cerrado. És claro que $\{1\;,\;\frac{5}{4}\;,\;\frac{4}{3},\ldots\}$, que son los elementos de $A$, son puntos de acumulación de $\mathbb{R}-A$, pero no son los únicos puntos de acumulación que tiene dicho conjunto; en consecuencia, $\mathbb{R}-A$ no es cerrado y, por tanto, su complementario $A$ no es un conjunto abierto.

Resumiendo: $A$ no es un conjunto abierto ni es un conjunto cerrado. $\square$

Cojuntos compactos

Recubrimiento de un conjunto $A$:
Definición (recubrimiento):
Se dice que una colección $\mathcal{A}$ de conjuntos cubre a un conjunto $A$ o que es un recubrimiento de $A$ cuando la unión de todos los conjuntos de $\mathcal{A}$ contiene a $A$.

Definición (recubrimiento abierto):
Un recubrimiento abierto de $A$ es un recubrimiento formado por conjuntos abiertos.

Ejemplo: La colección de intervalos abiertos $(1/n,1-1/n)$ donde ( $n=2,3,\ldots$ ) es un recubrimiento abierto del intervalo $(0,1) \subset \mathbb{R}$

Definición (subrecubrimiento):
Un subrecubrimiento de un recubrimiento $\mathcal{A}$ es una subcolección de conjuntos $\mathcal{B}$ de $\mathcal{A}$ que cubre (recubre) también al conjunto $A$.

Definición (conjunto compacto):
Un subrecubrimiento de un recubrimiento $\mathcal{A}$ es una subcolección de conjuntos $\mathcal{B}$ de $\mathcal{A}$ que cubre (recubre) también al conjunto $A$.

Ejemplo: La colección de intervalos abiertos $(1/n,1-1/n)$ donde ( $n=3,\ldots$ ) es un recubrimiento abierto del intervalo $(0,1) \subset \mathbb{R}$, y la colección de intervalos abiertos $\big(\dfrac{1}{2n},1-\dfrac{1}{2n}\big)$ donde ( $n=2,3,\ldots$ ) es un subrecubrimiento abierto del intervalo $(0,1) \subset \mathbb{R}$

Definición (conjunto compacto):
Se dice que un conjunto $A \subset \mathbb{R}$ es compacto cuando de todo recubrimiento abierto de $A$ se puede extraer un subrecubrimiento finito.

Proposición:
Todo conjunto compacto es cerrado.

Proposición. (Teorema de Heine Borel):
Un conjunto $A \subset \mathbb{R}$ es compacto si y sólo si es cerrado y acotado.

Proposición (Teorema de Bolzano-Weierstrass):
Todo conjunto infinito y acotado $A \subset \mathbb{R}$ tiene al menos un punto de acumulación.
Ejemplo 1: El conjunto $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ no es un c. cerrado habida cuenta de que no contiene los p.d.a. que no son números racionales (n. irracionales).

Observaciones:

Se cumple lo siguiente:
$\text{int}(\mathbb{Z})=\emptyset$
$\text{ext}(\mathbb{Z})=\mathbb{R}-\mathbb{Z}$
$\text{fr}(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$
$\text{adh}(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$
$\text{ac}(\mathbb{Z})=\emptyset$

$\text{int}(\mathbb{Q})=\emptyset$
$\text{ext}(\mathbb{Q})=\emptyset$
$\text{fr}(\mathbb{Q})=\mathbb{R}$
$\text{adh}(\mathbb{Q})=\mathbb{R}$
$\text{ac}(\mathbb{Q})=\mathbb{R}$

Relaciones de equivalencia. Espacio vectorial cociente

Relación de equivalencia:
Dado un conjunto $E$, se define en él una relación binaria de equivalencia $\mathcal{E}$, cumpliendo por tanto las propiedades: reflexiva, simétrica y transitiva ). Pues bien, dicha relación de equivalencia determina una partición de $E$, cuyas partes se llaman clases de equivalencia y, recíprocamente, cualquier partición de $E$ establece una relación de equivalencia en $E$.

Dada $\mathcal{E}$ ( una r. de e. en $E$ ), se llaman clase de equivalencia de un elemento $w \in E$, y se designa por $[w]$, al cojunto de elementos que se relacionan con $w$ mediante $\mathcal{E}$, és decir
$[w]=\{x \in E \, | \, x \,\mathcal{E}\, w \}$

Las clases de equivalencia cumplen las siguientes propiedades:
a) Dados $x,y \in E$, $x \, \mathcal{E} \, \text{y} \, \Leftrightarrow [x]=[y]$
b) Dados $x,y \in E$, $x \; \text{no es equivalente a}\; y \Leftrightarrow [x]\cap [y] = \emptyset$
c) $\displaystyle \cup_{x \in E} [x]=E$

Relación de equivalencia asociada a una aplicación entre dos conjuntos:
Dada una aplicación $f: A\rightarrow B$, se define la relación binaria tener la misma imagen por la aplicación ( que es de equivalencia ). Esta relación de equivalencia $\mathcal{E}$ se denomina equivalencia asociada a la aplicación y, por tanto, podemos afirmar que dados $x,y \in A$, $x \, \mathcal{E}\, y \Leftrightarrow f(x)=f(y)$.

Teorema: Dada una aplicación $f: E\rightarrow E^{'}$ y la relación de equivalencia asociada, se demuestra que la aplicación $f$ puede descomponerse en tres aplicaciones:
$f=i \circ b \circ e$
de tal forma que
$e:E \rightarrow E/\mathcal{E}$ ($e$ es exhaustiva)
$b: E/\mathcal{E} \rightarrow Im(E)$ ( tal que $b([x])=f(x)$ es biyectiva )
$i: Im(E) \rightarrow E^{'}$ ( tal que $i\big(f(x)\big)=f(x)$ es inyectiva )
[esquema]

Espacio vectorial cociente:

Sea $(E,+,\cdot)$ un e.v. sobre un cuerpo conmutativo $K$, y sea $\mathcal{E}$ una relación de equivalencia definida en $E$ que sea compatible con la estructura de e.v. sobre $k$.

Por ser $(E,+)$ grupo abeliano, dicha relación de equivalencia debe ser del tipo
$x \, \mathcal{E} \, y \Leftrightarrow x-y \in F$, para todo par $x,y \in E$, donde $F$ es un subgrupo del grupo abeliano $(E,+)$. Siendo, además, $\mathcal{E}$ también compatible con la operación externa producto por escalares, se tiene que $x \, \mathcal{E} \, y \Leftrightarrow \lambda \cdot x \,\, \mathcal{E} \,\, \lambda \cdot y \; \;\forall \lambda \in K$. Entonces, como $\lambda \cdot x - \lambda \cdot y \in F \Leftrightarrow \lambda \cdot (x-y) \in F$, $F$ es un e.v. de $E$.
[Nota: cualquier $z \in F$ puede considerarse como la diferencia de dos vectores $x$ e $y$ equivalentes, ya que elegido un $x \in E$ arbitrario, basta tomar $y=x-z$ ]

Se comprueba que, dado $(E,+,\cdot)$ y dado $F \subset E$, un subespacio vectorial de $E$, la estructura $(E/\mathcal{E},+,\cdot)$ es un e.v. que se denomina espacio vectorial cociente y ser representa por $(E/F,+,\cdot)$ debido a que la relación de equivalencia $\mathcal{E}$ distingue al subespacio vectorial $F$.

Grupoide, parte estable de un grupoide, semigrupo, y grupo

Grupoide:
Dado un conjunto $A$ con una operación $\star$ diremos que $(A,\star)$ tiene estructura de grupoide si dicha operación es interna, es decir, si
$\star: A \times A \rightarrow A$

Parte estable de un grupoide:
Dado un subconjunto $B \subset A$ ( siendo $(A,\star)$ un grupoide ) diremos que si para todo par $(x,y) \in B \times B$ se tiene que $x \star y \in B$ resulta que la operación con una operación $*$ induce una operación en $B$ (que representaremos con el mismo signo $\star$ que la dada para $A$), entonces $B \subset A$ es una parte estable de $A$ .

Relación de equivalencia compatible con la operación del grupoide:
Dado un grupoide $(A,\star)$ y una relación de equivalencia $\mathcal{E}$ definida en el conjunto $A$, se dice que $\mathcal{E}$ es compatible con la operación $\star$ del grupoide si:
$\left.\begin{matrix}x \;\mathcal{E}\; x^{'}\\\\y\;\mathcal{E}\; y^{'}\end{matrix}\right\}\Rightarrow x \star y \; \mathcal{E} \; x^{'} \star y^{'}$

Semigrupo:
Dado un grupoide $(A,\star)$ tal que $\star$ cumple la propiedad asociativa, entonces lo llamamos semigrupo. Si, además, cumple la propiedad conmutativa, entonces decimos que es un semigrupo conmutativo. Y si posee elemento neutro ( $e \in A$ tal que $\forall a \in A$ se cumple que $e \star a = a \star e = a$ ), hablamos entonces de un semigrupo con elemento neutro $e$. Por ejemplo, $(\mathbb{N},+)$ es un semigrupo conmutativo con elemento neutro (que es el $0$)

Grupo:
Dado un semigrupo con elemento neutro $(A,\star)$, diremos que si para cada $a \in A$ existe un elemento simétrico $a^{'}$ tal que $a^{'} \star a = a \star a^{'}=e$, entonces $(A,\star)$ tiene estructura de grupo. Si además se cumple la propiedad conmutativa para todo par $a,b \in A$, se puede hablar de un grupo conmutativo o abeliano.

Observación: Si bien $(\mathbb{N},+)$ es un semigrupo conmutativo con elemento neutro, no es un grupo ya que no existe simétrico para un número natural que no sea el propio neutro. Sin embargo, el semigrupo conmutativo con elemento neutro $(\mathbb{Z},+)$ sí es un grupo, ya que todo número entero tiene elemento opuesto (simétrico) para la suma.

Un ejercicio de topología en el conjunto de los números reales

p>Enunciado:
Dados los conjuntos $A\subset \mathbb{R}$ y $B\subset \mathbb{R}$ definidos de la forma
$A=\{x \in \mathbb{R} \,:\, x=\dfrac{3n-1}{2n}, \; n\in \mathbb{N}$
$B=\{x \in \mathbb{R} \,:\, x=\dfrac{n^2+2}{n^2}, \; n\in \mathbb{N}$
Se pide:
a) ¿ Es $A$ abierto ? ¿ Es cerrado ?
a) ¿ Es $B$ abierto ? ¿ Es cerrado ?
c) Hallar los siguientes conjuntos: $\text{ac}(A)$, $\text{ac}(B)$ y $\text{ac}(A \cup B)$
d) ¿ Es $A \cup B$ cerrado ?
e) Hallar los siguientes conjuntos: $\text{adh}(A)$, $\text{adh}(B)$ y $\text{adh}(A \cup B)$

Solución:
a) ¿ Es $A$ abierto ? ¿ Es cerrado ?
El conjunto dado corresponde a los términos de la sucesión
$\{1\;,\;\frac{5}{4}\;,\;\frac{4}{3},\ldots\}$
Observemos también que la sucesión converge y que el valor del límite del término general (que es igual a $3/2$ ) no corresponde a ningún término de la sucesión; por tanto, al ser el valor de límite un punto de acumulación ( es el único, de hecho, por una de las propiedades estudiadas) y al no pertenecer éste a $A$ deducimos de ésto que $A$ no contiene a todos sus puntos de acumulación (propiedad) y, por consiguiente, $A$ no es un conjunto cerrado.

Veamos si se trata de un conjunto abierto. $A$ será abierto si su complementario $\mathbb{R}-A$ es cerrado. És claro que $\{1\;,\;\frac{5}{4}\;,\;\frac{4}{3},\ldots\}$, que son los elementos de $A$, son puntos de acumulación de $\mathbb{R}-A$, pero no son los únicos puntos de acumulación que tiene dicho conjunto; en consecuencia, $\mathbb{R}-A$ no es cerrado y, por tanto, su complementario $A$ no es un conjunto abierto.

Resumiendo: $A$ no es un conjunto abierto ni es un conjunto cerrado.

b) ¿ Es $B$ abierto ? ¿ Es cerrado ?
El conjunto dado corresponde a los términos de la sucesión
$\{1\;,\;\frac{3}{2}\;,\;\frac{11}{9},\ldots\}$
Observemos, también aquí, que la sucesión converge y que el valor del límite del término general (que es igual a $1$ ) no corresponde a ningún término de la sucesión; por tanto, al ser el valor de límite un punto de acumulación ( es el único, de hecho, por una de las propiedades estudiadas) y al no pertenecer éste a $A$ deducimos de ésto que $B$ no contiene a todos sus puntos de acumulación (propiedad) y, por consiguiente, $B$ no es un conjunto cerrado.

Veamos si se trata de un conjunto abierto. $B$ será abierto si su complementario $\mathbb{R}-B$ es cerrado. És claro que $\{3\;,\;\frac{3}{2}\;,\;\frac{11}{9},\ldots\}$, que son los elementos de $B$, son puntos de acumulación de $\mathbb{R}-B$, pero no son los únicos puntos de acumulación que tiene dicho conjunto, es decir, no contiene a todos sus puntos de acumulación; en consecuencia, $\mathbb{R}-B$ no es cerrado y, por tanto, su complementario $B$ no es un conjunto abierto.

Resumiendo: Como en el caso de $A$, resulta que $B$ no es un conjunto abierto ni es un conjunto cerrado.

c) Hallar los siguientes conjuntos: $\text{ac}(A)$, $\text{ac}(B)$ y $\text{ac}(A \cup B)$
$\text{ac}(A)=\{\frac{3}{2}\} \in B$ ya que corresponde al siguiente término $b_2 \in B$
$\text{ac}(B)=\{1\} \in A$ ya que corresponde al término $a_1 \in A$
por tanto
$\text{ac}(A \cup B)=\{1,\frac{3}{2}$

d) ¿ Es $A \cup B$ cerrado ?
Observemos que $A \cup B$ incluye todos sus puntos de acumulación (que son $1$ y $\frac{3}{2}$), en consecuencia $A \cup B$ es un conjunto cerrado.

e) Hallar los siguientes conjuntos: $\text{adh}(A)$, $\text{adh}(B)$ y $\text{adh}(A \cup B)$
$\text{adh}(A)=A\cup \text{ac}(A)$
$=\{1\;,\;\frac{5}{4}\;,\;\frac{4}{3},\ldots\} \cup \{\frac{3}{2}\}$
$=\{1\;,\;\frac{5}{4}\;,\;\frac{4}{3}\ldots;\frac{3}{2}\}$
$\text{adh}(B)=B\cup \text{ac}(B)$
$=\{3\;,\;\frac{3}{2}\;,\;\frac{11}{9},\ldots\} \cup \{1\}$
$=\{1;3\;,\;\frac{3}{2}\;,\;\frac{11}{9}\ldots\}$
Por tanto
$\text{adh}(B) \cup \text{adh}(B)$
$=\{1\;,\;\frac{5}{4}\;,\;\frac{4}{3}\ldots;\frac{3}{2}\} \cup \{1\} \cup \{1;3\;,\;\frac{3}{2}\;,\;\frac{11}{9}\ldots\} $
$= A \cup B$
$\square$

Noción de variedad lineal

En Geometría y Álgebra, una variedad lineal es el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. Geométricamente, es la gereralización (a cualquier número de dimensiones) de las rectas y los planos. En el libro de la asignatura es habla, a veces, de hiperplanos; se pueden entender, por tanto, como variedades lineales.

También es el concepto análogo al de subespacio vectorial en el ámbito de la Geometría Afín (es decir, una variedad lineal es la denominación correcta de lo que intuitivamente denominaríamos "subespacio afín").

Referencia: http://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_lineal

Un ejemplo de uso de herramientas de lógica computacional

Referencias: [1] UNED, https://www.uned.es/universidad/inicio.html

Espai afí R^3 i alguns subespais. Espai vectorial i subespai vectorials.

Enunciat:
Considereu l'espai afí $(\mathbb{R}^3, O, \mathcal{B})$ on:
$\mathbb{R}^3$ és l'espai vectorial estàndard sobre el cos $\mathbb{R}$
L'origen de coordenades $O$ és el punt de coordenades $(0,0,0)$
La base $\mathcal{B}$ escollida de l'espai vectorial $\mathbb{R}^3$ està formada pels vectors
$\{e_1=1,0,0,e_2=(0,1,0),e_3=(0,0,1)\}$
( que es la base estàndard o canònica).
Determineu l'equació implícita (o e. general) del pla que passa pels punts $P(1,0,0)$, $Q(0,1,0)$ i $R(0,0,1)$

Comentari: Les projeccions d'aquest pla sobre els plans $Oxy$, $Oxz$ i $Oyz$, són rectes que formen angles de 45º amb els eixos respectius.

Solució:
L'equació implícita del pla
$A\,x+B\,y+C\,z+D=0$
que passa per tres punts donats
$P(x_P,y_P,z_P)$, $Q(x_Q,y_Q,z_Q)$ i $R(x_R,y_R,z_R)$
ve donada per
$\begin{vmatrix} x&y &z &1\\ x_P&y_P &z_P &1 \\ x_Q&y_Q &z_Q &1 \\ x_R&y_R &z_R &1 \end{vmatrix}=0$
que, amb les dades donades, es concreta així
$\begin{vmatrix} x&y &z &1\\ 1&0 &0 &1 \\ 0&1 &0 &1 \\ 0&0 &1 &1 \end{vmatrix}=0$
Per calcular el determinant d'ordre $4$ desenvoluparem pels adjunts de la primera columna
$\begin{vmatrix} x&y &z &1\\ 1&0 &0 &1 \\ 0&1 &0 &1 \\ 0&0 &1 &1 \end{vmatrix}=x\,\begin{vmatrix} 0&0 &1 \\ 1&0 &1 \\ 0&1 &1 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} y&z &1 \\ 1&0 &1 \\ 0&1 &1 \end{vmatrix}=x-(1-y-z)$
$=x+y+z-1$

Per tant el pla $\pi_{PQZ}$ ve descrit per l'equació (e. general del pla):

$\pi_{PQZ}:\;\; x+y+z-1=0$

Nota: Observem que si fem les projeccions del pla sobre els tres plans $Oxy$ ( fent $z=0$ ), $Oyz$ ( fent $x=0$ ) i $Oxz$ ( fent $y=0$ ) obtenim, respectivament, les rectes:
$x+y=1$, és a dir, la recta $y=-x+1$ ( en el pla $Oxy$ )
$z+y=1$, és a dir, la recta $z=-y+1$ ( en el pla $Oyz$ )
$x+z=1$, és a dir, la recta $z=-x+1$ ( en el pla $Oxz$ )
$\square$

Un ejemplo de subespacio de dimensión 2 en R^3. Ecuaciones implícitas y paramétricas de dicho subespacio.

Enunciado:
Cosidérese un subespacio vectorial $V=L \left[(1,0,-1),(1,-1,0)\right] \subset \mathbb{R}^3$. Demuéstrese que el sistema de generadores dado es una base de $V$. Encuéntrense las ecuaciones implícitas que definen el subespacio $V$. Encuéntrense tambíen las ecuaciones paramétricas del subespacio.

Solución:
Veamos si los vectores dados son linealmente independientes
$\alpha \,(1,0,-1) + \beta\,(1,-1,0)=(0,0,0)$
Se comprueba que $\alpha=\beta=0$ y, por tanto, son linealmente independientes. Como, además, los dos vectores dados constituyen un sistema de generadores, forman una base de $V$, que tendrá dimensión $2$.

Para encontrar las ecuaciones implícitas basta tener en cuenta que cualquier otro vector de coordenadas $(x_1,x_2,x_3)$ será por tanto c.l. de los dos vectores de la base dada, con lo cual teniendo en cuenta la matriz $A$ (que tiene por columnas las coordenadas de los vectores)
$A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & -1 \\-1 & 0 \\\end{pmatrix}$
$\text{rg}\begin{pmatrix}1 & 1 & x_1\\ 0 & -1 & x_2 \\-1 & 0 & x_3\\\end{pmatrix}=2$
Por tanto, tomando un menor complementario de orden $2$ no nulo como
$\begin{vmatrix}1 &1 \\ 0 &-1 \\\end{vmatrix} \neq 0$
y haciendo la única (en este caso) ampliación pertinente, su determinante deberá ser nulo ( recordemos que la dimensión es $2$ ), es decir,
$\begin{vmatrix}1 &1 & x_1\\ 0 &-1 & x_2\\ -1 &0 & x_3\\ \end{vmatrix}=0$
Calculando este determinante, obtenemos un sistema de ecuaciones implícitas que consta, en este caso, de una sola ecuación ( ver II.Ejemplo 7.17, p.169):
$V:\;\; x_1+x_2+x_3=0$

Vamos a encontrar ahora las ecuaciones paramétricas de $V$ (II.7.16,p.166). Para ello tan solo tenemos que concretar el sistema de ecuaciones
$\displaystyle x_i=\sum_{j=1}^{2}\,a_{ji}\,\lambda_j \quad ( i = 1,2,3 )$
es decir
$\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\x_3\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & -1 \\-1 & 0 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\lambda_1 \\ \lambda_2\\\end{pmatrix}$
en otras palabras
$V:\,\left\{\begin{matrix}x_1&=&\lambda_1 &+ &\lambda_2 \\ x_2&=& & &-\lambda_2 \\ x_3&=&-\lambda_1 & & \\ \end{matrix}\right.$
$\square$

Un ejercicio sobre acotación

Encunciado:
Sea
$A=\{ x \in \mathbb{R}: \dfrac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)} \prec 0 \}$
Demostrar que $A$ está acotado y calcular su supremo y su ínfimo

Solución:
Sea
Multiplicando ambos miembros de
$\dfrac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)} \prec 0$
por $(x-3)^2\,(x-4)^2$
y, simplificando, se llega a
$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\prec 0$
que és un polinomio de cuarto grado cuatro $P_{4}(x)$, cuyas raíces son ( $1,2,3,4$ )
Luego, es evidente que para $x\prec 1$, $P_{4}(x)\succ 0$, con lo cual se deduce
que los intervalos dónde el polinomio toma valores positivos son $(1,2)$ y $(3,4)$, luego
$A=(1,2) \cup (3,4)$
con lo cual, $\forall x \in $ se cumple que $1 \prec x \prec 4$
luego $A$ está acotado. Y su supremo (la menor de las cotas superiores) e ínfimo (la mayor de las cotas inferiores) son
$\text{sup}(A)=4$ i $\text{inf}(A)=1$
$\square$

Sobre la estadística inferencial: población y muestreo

Estadística inferencial. Sobre la población y el muestreo de la misma.

Consideremos una determinada característica de una población a la cual asociamos una variable aleatoria $X$, observable, con una distribución de probabilidad supuesta (de la cual conocemos algunos o ninguno de sus parámetros) o, quizá, incluso podría darse el caso que la distribución de probabilidad de dicha variable fuese desconocida. Uno de los objetivos de la Inferencia Estadística es el de estimar el valor de los parámetros desconocidos, ya sea de forma puntual o bien mediante el cálculo de intervalos de confianza; otro objetivo igualmente importante es el de realizar contrastes de hipótesis.

La fiabilidad de los resultados de los estudios de inferencia estadística -- que pasa por medir/observar el valor de la característica ( en estudio ) en un subconjunto de la población -- requiere que la elección de la muestra se haya hecho de tal manera que sea representativa y, por tanto, debe contemplarse la independencia de elección de sus diversos elementos y, además, ésto tiene que hacerse de forma aleatoria, de tal manera que todos los individuos de la población tengan la misma probabilidad de ser elegidos para formar parte de la muestra. Si la muestra no es representativa, ésta contendrá sesgo con lo cual toda conclusión que se extraiga del estudio no será razonablemente correcta.

Por lo que se acaba de exponer, el tipo de muestreo ideal es el que denominamos muestreo aleatorio simple, que describimos a continuación. Este tipo de muestreo es el que se supondrá en todos los ejercicios que realizaremos en este curso. Sin embargo, en la práctica, es a menudo difícil llevar a cabo este muestreo ideal; por ello, y solamente a nivel informativo debemos citar también tres tipos más de muestreo en los que el sesgo, si bien será pequeño, no será nulo ( habrá que ir con cuidado ): el muestreo aleatorio sistemático ( se escogen los individuos siguiendo una pauta repetitiva a partir de un primer individuo elegido al azar ), el muestreo aleatorio estratificado ( deben mantenerse unas proporciones si la población está formada por varias subpoblaciones con rasgos diferenciales ), y el muestreo aleatorio por conglomerados o áreas ( en el que el muestreo tiene en cuenta los distintos bloques/zonas/áreas en los que se ubican los individuos de la población). Has otros tipos de muestreo, con menor aleatorización que los anteriores, que, si duda introducirán sesgo y, por tanto, habrá que tener muy en cuenta ésto a la hora de emitir conclusiones: el muestreo de tipo errático o casual ( encuestas en la cola de un cine, por ejemplo), el muestreo de efecto bola de nieve ( sondeos en las redes sociales, por ejemplo, en los que un formulario se difunde a través de los servicios de mensajería de la red ), el muestreo por cuotas ( en los que los individuos de la muestra son seleccionados si y solo si cumplen determinados condiciones ) y el muestreo intencionado ( en los que los individuos de la muestra son seleccionados con una fuerte presencia de criterios no aleatorios y, por tanto, suponen un sesgo muy importante ). Vamos a profundizar ahora en algunos detalles.

Muestreo aleatorio simple
Una muestra aleatoria simple de la población está formada por $n$ observaciones independientes $x_1,x_2,\ldots,x_n$ de la variable aleatoria $X$, entendiéndose por cada $x_i$, ( $i=1,\ldots,n$ ) el valor de la variable aleatoria $X$ observada/medida en el individuo seleccionado al azar y que ocupa el lugar $i$-ésimo, de tal manera que todos los individuos de la población tengan las misma probabilidad de ser elegidos para formar parte de la muestra.

Dicho ésto, podemos ahora interpretar/entender de manera más formal el muestreo aleatorio simple (m.a.s.) de la variable aleatoria $X$ como uno una sucesión de variables aleatorias independientes y del mismo tipo, $X_1,\ldots,X_n$, con la misma distribución de probabilidad que la variable $X$.

Teorema Central del Límite
Dada un muestreo aleatorio simple formado por una sucesión de variables aleatorias independientes $X_1,\ldots\,X_n$ con la misma varianza y la misma media que la variable aleatoria $X$ que sirve de modelo a una cierta característica de la población, entonces la variable aleatoria $(X_1+\ldots+X_n)/n$, que corresponde al estimador $\overline{x}$ de la media $\mu$, sigue una distribución de probabilidad normal $N(\mu\,,\,\sqrt{n}\,\sigma$, por tanto la variable tipificada
$\dfrac{(X_1+\ldots+X_n)/n - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$
sigue una distribución normal $N(0,1)$.

Observación/comentario:
En muchos problemas de estimación de la media $\mu$ mediante el estimador $\overline{x}$ de la misma, cuya variable aleatoria (en el muestreo) tipificada es
$\dfrac{\overline{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)$
nos toparemos, no obstante, con dos dificultades a la hora de aplicar el TCL: una de ellas será debido a que las muestras puedan ser demasiado pequeñas con lo cual deja deja de tener validez, y, por otra parte, también es muy frecuente no conocer la varianza $\sigma^2$ de la población y, por tanto, tampoco la desviación típica $\sigma$ con lo cual deberemos estimarla, por medio del estimador insesgado de la misma, que es la cuasivarianza, es decir, mediante
$\displaystyle S^2=\dfrac{1}{n-1}\,\sum_{i=1}^{n}\,(x-\mu)^2$
y de aquí obtener la cuasidesviación típica
$\displaystyle S=\sqrt{\dfrac{1}{n-1}\,\sum_{i=1}^{n}\,(x-\mu)^2}$
ello nos permitirá operar con otro estimador de la media poblacional:
$t_{n-1}=\dfrac{\overline{x} - \mu}{S / \sqrt{n}}$
cuya distribución no es $N(0,1)$ sino otra d. conocida como distribución de Student ( debida a William Gosset ) -- con $n-1$ grados de libertad, tal como se anota arriba --, además, funciona también bastante bien para muestras pequeñas. Por supuesto, encontraremos tabulados sus valores en los libros de tablas estadísticas.

Conceptos básicos empleados en el contraste de hipótesis

Dado el contraste de hipótesis $H_0$ ( hipótesis nula, que se toma como hipótesis estándar ) frente a $H_1$ ( hipótesis alternativa ), y dado un estadístico ( que es una variable aleatoria dependiente de las variables aleatorias del muestreo aleatorio simple ) $X_1,\ldots,X_n$, y un valor observado de éste en la muestra, es importante recordar los conceptos básicos que aparecen en escena en cualquier problema de contraste de dichas hipótesis a partir de la inferencia de parámetros de la población (mediante la distribución de probabilidad del estadístico del contraste) y del valor del mismo observado en la muestra seleccionada. Son los siguientes:

Error de tipo I:

Se define como la siguiente probabilidad
$\text{Error de tipo I}:=P( \text{rechazar} \; H_0 \; | \; H_0 \; \text{cierta} )$
Un valor fijado de antemano para dicha probabilidad, pongamos que del $0'01$ o del $0'05$ ( pues debe ser pequeña para no rechazar sin razón suficiente la hipótesis estándar o nula ), se denota por $\alpha$ y se denomina coeficiente de significación del test. El nivel de significación observado o la probabilidad observada en la muestra de rechazar la hipótesis nula siendo ésta cierta se conoce como p-valor, y representa el menor coeficiente de significación, $\alpha$, con el que poder rechazar la hipótesis nula.

Dependiendo del tipo de contraste ( bilateral o unilateral ), y denotando por: $\hat{\theta}$ al estadístico del contraste, por $\theta$ a la variable de la población, y por $\theta_0$ al valor de referencia de dicha variable que nos sirve para discriminar la hipótesis nula de la alternativa, el cálculo del p-valor se realiza como sigue:

Test bilateral:
Contrastamos $H_0:\,\theta=\theta_0$ frente a a $H_1:\,\theta \neq \theta_0$
$\text{p-valor}:=P(\text{rechazar H_0 | H_0 cierta})$
$=P\{|\hat{\theta}|\ge \theta_0 | H_0 \}$

Test unilateral con la región crítica a la derecha:
Contrastamos $H_0:\,\theta=\theta_0$ frente a a $H_1:\,\theta \neq \theta_0$
$\text{p-valor}:=P(\text{rechazar H_0 | H_0 cierta})$
$=P\{\hat{\theta} \ge \theta_0 | H_0 \}$

Test unilateral con la región crítica a la izquierda:
Contrastamos $H_0:\,\theta=\theta_0$ frente a a $H_1:\,\theta \neq \theta_0$
$\text{p-valor}:=P(\text{rechazar H_0 | H_0 cierta})$
$=P\{\hat{\theta} \le \theta_0 | H_0 \}$

En muchos casos, como ya se ha comentado, se fija de antemano el nivel de significación del test $\alpha$ y se realiza el contraste a partir de si el valor observado del estadístico de contraste pertenece o no al intervalo de aceptación de la hipótesis nula, aceptando ésta si es así, y rechazándola en caso contrario. No obstante, suele calcularse también el p-valor, para ratificar la decisión tomada al disponer de una medida más real del error de tipo I, que en definitiva es de lo que se está hablando; así, si $\text{p-valor} \ge \alpha$, podremos enunciar con más garantía la decisión tomada de aceptar $H_0$, valorando la determinación o fuerza de nuestra decisión según sea el p-valor mucho mayor o casi igual al nivel de significación que, en un principio, se creyó que podría tomarse ante la naturaleza del problema. Por supuesto, si el p-valor fuese menor que el nivel de significación fijado o bien fuese claramente pequeño, pongamos por ejemplo que inferior a $0'01$ - y ya no digamos si fuese mucho menor que ese valor -, deberíamos rechazarnos la hipótesis nula.
Nivel de confianza del contraste:

Se define como la siguiente probabilidad
$P( \text{aceptar} \; H_0 \; | \; H_0 \; \text{cierta} )=1-P( \text{rechazar} \; H_0 \; | \; H_0 \; \text{cierta} )$
Por lo tanto, fijado de antemano el coeficiente de significación, $\alpha$, del test, entonces el coeficiente de confianza es el complemento a $1$ del mismo, es decir, $1-\alpha$; así, si, por ejemplo, el coeficiente de significación del test es de $0'01$, el coeficiente de confianza es de $0'99$.
Error de tipo II:

Se define como la siguiente probabilidad y se suele denotar por el símbolo $\beta$
$\beta:=P( \text{aceptar} \; H_0 \; | \; H_0 \; \text{falsa} )$
Potencia del test (o del contraste):

Se define como la probabilidad
$\text{Potencia del contraste}:=P( \text{rechazar} \; H_0 \; | \; H_0 \; \text{falsa} )$
$=1-P( \text{aceptar} \; H_0 \; | \; H_0 \; \text{falsa} )=1-\beta$
Dada su definición, es evidente que es deseable que el test de contraste tenga un potencia alta, pongamos que mayor que $0'9$.

Contrastes bilaterales y unilaterales con estadísticos que sigan una distribución en el muestreo aproximadamente normal

En lo que sigue, supondremos que el estadístico $\hat{\theta}$ - que es una variable aleatoria con la cual planteamos los contrastes de hipótesis y con el que podemos estimar el valor del parámetro $\theta$ de la varibale $X$ en estudio de la población a partir de un muestreo aleatorio simple - tiene una distribución en el muestreo $N(\theta\,,\,\sigma(\hat{\theta}))$, es decir es una distribución normal o aproximadamente normal, y, por tanto, su variable tipificada es $(\hat{\theta} - \theta) / \sigma(\hat{\theta}) \approx N(0,1)$.

En todo contraste, nos proponemos caracterizar los intervalos de aceptación y rechazo de una hipótesis estándar ( que denominamos hipótesis nula ), $H_0$, frente a una hipótesis alternativa, $H_1$, donde supondremos que una y otra se formulan a partir de un valor supuesto $\theta_0$ del parámetro $\theta$ de la variable aleatoria de la población. Ésto se hará suponiendo un coeficiente de confianza de $1-\alpha$ y, por tant, con un coeficiente de singificación $\alpha$.

Una vez hayamos establecido los valores críticos del estadístico que determinan dichos intervalos, decidiremos aceptar la hipótesis nula si el valor observado del estadístico en la muestra seleccionada cae dentro del intervalo de aceptación de dicha hipótesis, y la rechazaremos si cae fuera del mismo.

Según la disposición ( en la recta numérica en la que representamos los valores del estadístico ) de las zonas/intervalos de aceptación y rechazo de la hipótesis nula, describiremos a continuación los tres casos posibles que pueden aparecer, que denominaremos: test bilateral; test unilateral derecho; o bien, test unilateral izquierdo. Para ello, deberemos encontrar los puntos críticos ( puntos de separación de dichas zonas/intervalos ), por tanto describiremos también la condición que se debe cumplir para tomar la decisión de aceptar ( respectivamente, rechazar ) la hipótesis nula de acuerdo con la ubicación del valor observado del estadístico ( medido en la muestra seleccionada ) dentro ( o fuera ) de la zona de aceptación de la hipótesis nula.

Test bilateral a nivel de significación $\alpha$
Dado un valor supuesto, $\theta_0$, del parámetro $\theta$ de la población ( que es desconocido ), consideremos el siguiente contraste de la hipótesis nula ( fundamental o estándar ) $H_{0}:\,\theta=\theta_0$ frente a la hipótesis alternativa $H_{1}:\,\theta \neq \theta_0$.

El intervalo de aceptación de la hipótesis nula será tal que $\theta_0 - c \le \hat{\theta} \le \theta_0 + c$ con un nivel de confianza $1-\alpha$, donde $c$ es un número real que dependerá del margen de error de la estimación. Como queremos determinar dicho intervalo el objetivo es, precisamente, obtener el valor de $c$ a nivel de significación $\alpha$ ( o en otras palabras, con un nivel de confianza $1-\alpha$ ). Entonces, si se cumple la hipótesis nula a nivel de confianza $1-\alpha$ podremos expresarlo de la siguiente forma:
$P\{\theta_0 - c \le \hat{\theta} \le \theta_0 + c\}=1-\alpha$
que es lo mismo que
$P\{\theta_0 - c - \theta_0 \le \hat{\theta} - \theta_0 \le \theta_0 + c - \theta_0\}=1-\alpha$
es decir
$P\{- c \le \hat{\theta} - \theta_0 \le c \}=1-\alpha$
y, dividiendo por la desviación típica del estadístico en cada miembro de la doble desigualdad del argumento de la probabilidad, podemos también escribir
$P\{\dfrac{- c}{\sigma({\hat{\theta}})} \le \dfrac{\hat{\theta} - \theta_0}{\sigma({\hat{\theta}})} \le \dfrac{c}{\sigma({\hat{\theta}})}\}=1-\alpha$
y por la tipificación de la variable aleatoria del estadístico $\hat{\theta}$:
$Z:=\dfrac{\hat{\theta} - \theta_0}{\sigma({\hat{\theta}})} \approx N(0,1)$
podemos expresar la última línea de la forma
$P\{\dfrac{- c}{\sigma({\hat{\theta}})} \le Z \le \dfrac{c}{\sigma({\hat{\theta}})}\}=1-\alpha$
y operando con la d. normal se obtiene
$P\{Z \ge \dfrac{c}{\sigma({\hat{\theta}})}\}=\alpha / 2$
denotando por $z_{\alpha /2}$ a la abscisa de la función de densidad de probabilidad $f(z)$ que deja a su derecha el $(\alpha / 2)\cdot 100 \, \% $ de probabilidad ( valor que encontramos en las tablas de $Z \sim N(0,1)$, podemos escribir
$P\{ Z \ge z_{\alpha / 2} \}=\alpha / 2$
y por tanto, al ser
$z_{\alpha / 2} = \dfrac{c}{\sigma({\hat{\theta}})}$
obtenemos el valor de $c$
$c=z_{\alpha / 2} \cdot \sigma({\hat{\theta}})$
Con lo cual, los valores críticos ( extremos del intervalo de aceptación de $H_0$ ) son
$\theta_0-z_{\alpha / 2} \cdot \sigma({\hat{\theta}})$
y
$\theta_0+z_{\alpha / 2} \cdot \sigma({\hat{\theta}})$
respectivamente.

Es decir, el intervalo de aceptación de $H_0$, que denotamos por $C^{*}$, es
$C^{*}=[\;\theta_0-z_{\alpha / 2} \cdot \sigma({\hat{\theta}})\,,\,\theta_0+z_{\alpha / 2} \cdot \sigma({\hat{\theta}})\;]$

Por tanto, si el valor observado del estimador de $\theta$, $\hat{\theta}$, en la muestra seleccionada pertenece a $C^{*}$, decidiremos aceptar $H_0$ a un nivel de significación $\alpha$. En otras palabras, aceptaremos $H_0$ si $\dfrac{|\hat{\theta}_{\text{observado}}-\theta_0|}{\sigma(\hat{\theta})} \le z_{\alpha / 2}$; en caso contrario, rechazaremos $H_0$, aceptando la hipótesis alternativa $H_1$.

Test unilateral a la izquierda a nivel de significación $\alpha$
Sea el siguiente contraste de hipótesis:
$H_0:\,\theta \le \theta_0$ ( hipótesis nula ) frente a $H_1:\,\theta \succ \theta_0$ ( hipótesis alternativa ).
Aceptamos $H_0$ a nivel de significación $\alpha$ - esto es, a nivel de confianza $1-\alpha$ - si $P\{\hat{\theta} \le \theta_0-c\}=1-\alpha$, es decir, si $P\{\dfrac{\theta-\theta_0}{\sigma(\hat{\theta})} \le -\dfrac{c}{\sigma(\hat{\theta})} \}=1-\alpha \Leftrightarrow P\{\dfrac{\theta-\theta_0}{\sigma(\hat{\theta})} \ge -\dfrac{c}{\sigma(\hat{\theta})} \}=\alpha$ siendo $-\dfrac{c}{\sigma(\hat{\theta})}$ el punto crítico $z_{\alpha}$ ( que es la abscisa de $f(z)$ que deja a su derecha el $\alpha \cdot 100 \, \%$ de la distribución ) y que obtenemos de las tablas $Z \sim N(0,1)$.

Por tanto, el intervalo de aceptación de $H_0$ es $C^{*}=(-\infty \,,\, \theta_0-(-z_{\alpha} \cdot \sigma(\hat{\theta})\,]$, es decir, $C^{*}=(-\infty \,,\, \theta_0+z_{\alpha} \cdot \sigma(\hat{\theta}\,]$. Luego, si $\hat{\theta}_{\text{observado}} \in C^{*}$, entonces aceptaremos $H_0$; o lo que es lo mismo, aceptamos $H_0$ si el valor del estadístico en su variable tipificada es tal que $\dfrac{\hat{\theta}_{\text{observado}}-\theta_0}{\sigma(\hat{\theta})} \le z_{\alpha}$; en caso contrario, rechazaremos $H_0$, aceptando la hipótesis alternativa $H_1$.

Test unilateral a la derecha a nivel de significación $\alpha$
Sea el siguiente contraste de hipótesis:
$H_0:\,\theta \ge \theta_0$ ( hipótesis nula ) frente a $H_1:\,\theta \prec \theta_0$ ( hipótesis alternativa ).
Aceptamos $H_0$ a nivel de significación $\alpha$ - esto es, a nivel de confianza $1-\alpha$ - si $P\{\hat{\theta} \ge \theta_0+c\}=1-\alpha$, es decir, si $P\{\dfrac{\theta-\theta_0}{\sigma(\hat{\theta})} \ge \dfrac{c}{\sigma(\hat{\theta})} \}=1-\alpha$, siendo $\dfrac{c}{\sigma(\hat{\theta})}$ el punto crítico $z_{1-\alpha}$ ( que es la abscisa de $f(z)$ que deja a su derecha el $\alpha \cdot 100 \, \%$ de la distribución ) y que obtenemos de las tablas $Z \sim N(0,1)$.

Por tanto, el intervalo de aceptación de $H_0$ es $C^{*}=[\,\theta_0+z_{\alpha} \cdot \sigma(\hat{\theta})\,,\,\infty\,)$. Luego, si $\hat{\theta}_{\text{observado}} \in C^{*}$, entonces aceptaremos $H_0$; en otras palabras, aceptamos $H_0$ si el valor del estadístico en su variable tipificada es tal que $\dfrac{\hat{\theta}_{\text{observado}}-\theta_0}{\sigma(\hat{\theta})} \ge z_{1-\alpha}$; en caso contrario, rechazaremos $H_0$, aceptando la hipótesis alternativa $H_1$.

$\square$

Identidad del paralelogramo

PROPOSICIÓN.
Sean $z,w \in \mathbb{C}$, demostrar la identidad del paralelogramo $$|x+w|^2+|z-w|^2=2\,\left(|z|^2+|w|^2\right)$$

DEMOSTRACIÓN. $$|z+w|^2=(z+w)(\overline{z+w})=(z+w)(\overline{z}+\overline{w})=z\overline{z}+z\overline{w}+w\overline{z}+w\overline{w}$$
$$|z-w|^2=(z-w)(\overline{z-w})=(z-w)(\overline{z}-\overline{w})=z\overline{z}-z\overline{w}-w\overline{z}+w\overline{w}$$
Sumando miembro a miembro,
$$|z+w|^2+|z-w|^2=2\,z\overline{z}+2\,w\overline{w}$$
esto es
$$|z+w|^2+|z-w|^2=2\,|z|^2+2\,|w|^2$$
y, por tanto,
$$|z+w|^2+|z-w|^2=2\left(|z|^2+|w|^2\right)$$
$\square$

Aritmética de punto decimal fijo versus aritméticas de punto flotante

¿Qué entendemos por aritmética exacta? Idealmente, para obtener resultados exactos en las operaciones aritméticas, no debemos prescindir de ninguna cifra decimal al llevar a cabo las sucesivas operaciones; sin embargo, eso no es viable en la mayor parte de los casos, pues la capacidad de representación de las cantidades no es infinita. Por ello, conviene hablar de de dos tipos de aritméticas inexactas (asumiendo que vamos a redondear los datos y, por supuesto, los resultados parciales). Ahora bien, la realización de esa aritmética inexacta a la que inexorablemente nos vemos abocamos en la mayor parte de las situaciones de cálculo podemos hacerla de varias manera, según el formato de representación de las cantidades (en punto (decimal) fijo o punto (decimal) flotante). Una y otra presentan ventajas y desventajas, como puede verse en la siguente referencia:
https://es.wikipedia.org/wiki/Coma_flotante, Wikipedia

Acerca de los errores en los cálculos

CATEGORÍAS DE ERRORES EN LOS CÁLCULOS NUMÉRICOS:

1. errores humanos ( elección del método, mala interpretación del mismo, errores en los algoritmos, etcétera )

2. errores en los datos -> noción de condicionamiento ( si un pequeño error en los datos llevar a errores grandes en los resultados, decimos que el problema está mal condicionado )

3. errores de truncamiento -> noción de convergencia de los métodos numéricos ( se deben al truncamiento de series infinitas, por ejemplo )

4. errores de redondeo -> noción de estabilidad de los métodos numéricos ( se deben a la acumulación de los errores de redondeo )

Encontrar el Norte geográfico mediante el método de Vitrubio

El método que empleaba el arquitecto romano Vitrubio para determinar el Norte geográfico invita a realizar una bonita e interesante actividad. Se puede utilizar este método en un día soleado, pues se sirve de la sombra de un bastón plantado en posición vertical a un plano (suelo) horizontal.

Consiste en plantar un palo vertical por la mañana ( antes del paso del Sol por el meridiano del lugar ), comprobando la verticalidad con una plomada. Primero, marcaremos el extremo de la sombra del palo ( sobre el plano horizontal ).

A continuación, con la ayuda de un hilo, trazamos un arco de circunferencia con centro en la base del palo y radio igual a la longitud de la sombra medida, pasando pues por el punto marcado, y abarcando el suficiente ángulo central para que, esperando el tiempo necesario, veamos el extremo de la sombra volviendo a intersecar la circunferencia, lo cual, lógicamente, se producirá por la tarde, en algún instante después del mediodía.

Trazando ahora el segmento que pasa por los dos puntos de intersección con la circunferencia ( con la ayuda de un hilo estirado, a modo de compás ), determinaremos la dirección Este-Oeste. Así, pues, la mediatriz de dicho segmento (que a su vez es la bisectriz del ángulo con vértice en la base del palo) nos indicará la dirección Norte-Sur.

Puede que, como actividad de geometría "de campo", tenga interés didáctico en matemáticas, ciencias experimentales y geografía.

Material:
Nos bastarán unos hilos ( cordeles ), un palo, y algún tipo de trazador ( tiza, por ejemplo ) para el arco de circunferencia y par los segmentos de recta de los que hemos hablado. -oOo- Referencias:
[1] https://es.wikipedia.org/wiki/Vitruvio, Wikipedia

Navegación en una superficie esférica. Derrota ortodrómica del punto A al punto B

Se quiere navegar del punto A al punto B por el camino más corto sobre la superficie de una esfera, esto es siguiendo el arco de curva ortodrómica ( de círculo máximo ) que pasa por los dos puntos. En navegación, este problema es muy importante.

Supongamos que nos encontramos en la superficie de la Tierra ( que consideraremos idealmente como una esfera ). Conocemos las coordenadas geográficas las coordenadas geográficas ( latitud y longitud ) del punto inicial y del punto final del camino, $(\ell_A,L_A)$ y $(\ell_B,L_B)$, y nos interesa calcular el valor del rumbo inicial a seguir, $\hat{R_0}$ ( rumbo que deberá ir corrigiéndose a medida que naveguemos ) así como la longitud del trozo de ortodrómica - a navegar - entre $A$ y $B$, que denotaremos por $d_{AB}$.

Fig. 1: Triángulo esférico en el que se muestra la trayectoria/derrota ortodrómica a seguir desde el punto A hasta el punto B

En dicho triángulo esférico sabemos que, por el teorema del coseno ( fórmulas de Bessel ): $$\cos(d_{AB})=\cos(90^{\circ}-\ell_B)\cdot cos(90^{\circ}-\ell_A)+\sin(90^{\circ}-\ell_B)\cdot \sin(90^{\circ}-\ell_A)\cdot \cos(L_B-L_A)$$ fórmula que nos permite calcular $d_{AB}$ (2), pues las cantidades del segundo miembro son datos del problema. Así, tendremos que $$d_{AB}=\arccos\,\left(\cos(90^{\circ}-\ell_B)\cdot cos(90^{\circ}-\ell_A)+\sin(90^{\circ}-\ell_B)\cdot \sin(90^{\circ}-\ell_A)\cdot \cos(L_B-L_A)\right)$$ Obviamente, el valor obtenido vendrá dado en grados, así que para obtener la distancia en millas náuticas bastará expresar el resultado en minutos de arcos, habida cuenta de que una milla náutica equivale a un minuto de arco de meridiano (1).

Por otra parte, para conocer el rumbo inicial a seguir (desde el punto de partida $A$), podemos utilizar estos dos procedimientos:
I) Por el teorema de la cotagente: $$\cot(90^{\circ}-\ell_B)\cdot \sin(90^{\circ}-\ell_A)=\cos(90^{\circ}-\ell_A) \cdot \cos(L_B-L_A) + \sin (L_B-L_A)\cdot \cot(\hat{R_0})$$ Teniendo en cuenta que $\cot(\hat{R_0})=\dfrac{1}{\tan(\hat{R_0)}}$, despejando se obtiene (2): $$\tan(\hat{R_0})=\dfrac{\sin(\ell_B-\ell_A)}{\cot(90^{\circ}-\ell_B)\cdot \sin(90^{\circ}-\ell_A)-\cos(90^{\circ}-\ell_A)\cdot \cos(L_B-L_A)}$$ y por tanto $$\hat{R_0}=\arctan \left(\dfrac{\sin(L_B-L_A)}{\cot(90^{\circ}-\ell_B)\cdot \sin(90^{\circ}-\ell_A)-\cos(90^{\circ}-\ell_A)\cdot \cos(L_B-L_A)}\right)$$
II) Otra vez, utilizando la fórmula de Bessel (aplicándolo ahora a otro lado del triángulo) habida cuenta de que ya habremos calculado el lado $d_{AB}$: $$\cos(90^{\circ}-\ell_B)=\cos(90^{\circ}-\ell_A)\cdot \cos(d_{AB})+\sin(90^{\circ}-\ell_A)\cdot \sin(d_{AB})\cdot \cos(\hat{R_0})$$ de donde, depejando $\hat{R_0}$, se llega a $$\hat{R_0}=\arccos\left( \dfrac{\cos(90^{\circ}-\ell_B)- \cos(90^{\circ}-\ell_A)\cdot \cos(d_{AB})}{\sin(90^{\circ}-\ell_A)\cdot \sin(d_{AB})} \right)$$
III) Y, también ( habiendo calculado ya $d_{AB}$ ), por el teorema del seno, podemos escribir $$\dfrac{\sin(90^{\circ}-\ell_B)}{\sin(\hat{R_0})}\overset{*}{=}\dfrac{\sin(d_{AB)})}{\sin(L_B-L_A)}=\dfrac{\sin(90^{\circ}-\ell_A)}{\sin(\hat{B})}$$ luego por (*), $$\hat{R_0}=\arcsin\left( \dfrac{\sin(90^{\circ}-\ell_B)\cdot \sin(L_B-L_A)}{\sin(d_{AB})}\right)$$ -oOo- Observaciones:
(1) Una milla náutica equivale a $1\,852$ metros

(2) El valor, en grados, de dicho resultado hay que interpretarlo correctamente a la hora de ponernos a rumbo. Conviene, en este caso, expresarlo en forma cuadrantal. Pongamos en un supuesto de que el resultado de $\hat{R_0}$ extraído de la fórmula fuese pongamos que de $40^{\circ}$, y que $\ell_B \succ \ell_A$ y $L_B \succ L_A$ ( lo cual nos indica que nos dirigimos hacia algún punto del cuarto cuadrante ) - en náutica la numeración de los cuadrantes se efectúa en el sentido horario partiendo del primero, que está comprendido entre el Norte y el Este, esto es, nos dirigimos hacia algún punto del cuadrante comprendido entre el Norte y el Oeste -, por lo que el rumbo cuadrantal a seguir sería $N40^{\circ}W$, lo que equivale a $360^{\circ}-40^{\circ}=320^{\circ}$ en su expresión dada como rumbo circular.

(3) Para realizar estos cálculos es suficiente una calculadora científica básica

Referencias:
[1] Geometría_esférica, Wikipedia
[2] Trigonometría_esférica, Wikipedia
[3] MEDEROS, L., Navegación Astronómica, Tutor, Madrid, 2016
[4] MOREU, J.M.; MARTÍNEZ, J., Astronomía y Navegación, Librería San José, Vigo, 1987

Conversión de decimal a binario

En este ejemplo se muestra coómo convertir el número decimal $x=324.65$ a base $2$. Se separa la parte entera, $324$, de la parte decimal $.65$. Para la parte entera se procede a dividir entre $2$ ( la base ) ese número y los sucesivos cocientes, hasta llegar a una división con cociente igual a $1$, obteniendo los siguientes resultados ( teorema de la división entera ):
$324=162\cdot 2+0$
$162=81\cdot 2+0$
$81=40\cdot 2+1$
$40=20\cdot 2+0$
$20=10\cdot 2+0$
$10=5\cdot 2+0$
$5=2\cdot 2+1$
$2=\textbf{1}\cdot 2+0$
Con lo cual $324_{10}=\textbf{1}01000100_{2}$

Para expresar la parte decimal $.65_{10}$ en base $2$, procedmos a multiplicar sucesivamente por $2$:
$0.65\cdot 2=1.3=\textbf{1}+0.3 \rightarrow 1$
$0.3\cdot 2=0.6=\textbf{0}.6 \rightarrow 0$
$0.6\cdot 2=\textbf{1}.2 \rightarrow 1$
$0.2\cdot 2=\textbf{0}.4 \rightarrow 0$
$0.4\cdot 2=\textbf{0}.8 \rightarrow 0$
$0.8\cdot 2=\textbf{1}.6 \rightarrow 1$
$0.6\cdot 2=\textbf{1}.2 \rightarrow 1$
$0.2\cdot 2=\textbf{0}.4 \rightarrow 0$
$0.4\cdot 2=\textbf{0}.8 \rightarrow 0$
$0.8\cdot 2=\textbf{1}.6 \rightarrow 1$
$0.6\cdot 2=\textbf{1}.2 \rightarrow 1$
$0.2\cdot 2=\textbf{0}.4 \rightarrow 0$
$0.2\cdot 4=\textbf{0}.8 \rightarrow 0$
...
Y por consiguiente, $0.65_{10}=0.101001100110011\ldots = 0.10100\overline{1100}_{2}$, así que $$324.65_{10}=101000100.10100\overline{1100}_{2}$$ $\square$

Contando el número de múltiplos de un cierto número en un conjunto dado

ENUNCIADO. ¿ Cuántos múltiplos de $5$ hay entre $11$ y $63$ ?

SOLUCIÓN.

Procedimiento 1. Una manera sencilla de hacer el recuento -- descartamos, por supuesto, el proceso tedioso de escribirlos uno a uno y contar aditivamente todos y cada uno de los múltiplos pertinentes --, consiste en encontrar el menor y el mayor de dichos múltiplos de $5$; el menor es, obviamente, $15$; y, el mayor, claramente, $60$. Entonces, teniendo en cuenta que los múltiplos consecutivos de $5$ se obtienen sumando $5$ unidades al precedente, deducimos que dicho número de múltiplos de $5$ comprendidos entre $11$ y $63$ es igual a $\dfrac{60-5}{5}+1$, esto es, $10$. El lector se preguntará: ¿ Por qué le sumamos uno ? Pues por la misma razón que el número de postes necesarios para que queden $n$ espacios entre ellos, es $n+1$.

Procedimiento 2. Llamemos a este procedimiento procedimiento interesante, pues el anterior ya lo venimos aplicando, desde hace tiempo, en otros cursos más básicos. Si podemos establecer una aplicación uno a uno ( biyección ) entre el conjunto de los números naturales consecutivos, hasta un cierto número, y el conjunto de los sucesivos múltiplos de $5$, mayores que $11$ y menores que $63$, el cardinal del conjunto de partida habrá de ser igual al del conjunto de llegada, con lo cual, tendremos listo el recuento. Como enseguida vamos a ver, en el caso que nos ocupa sí es posible establecer dicha aplicación uno a uno. En otros casos, sin embargo, puede que no lo sea.

Veamos dicha aplicación uno a uno. Como todo número natural multiplicado por $5$ es un múltiplo de $5$, podemos bosquejar una expresión que 'fabrique' múltiplos de $5$; ésta que sigue, como idea primaria, vale $5\cdot \diamond $, donde $\diamond$ designa un número natural arbitrario; ahora bien, no hemos terminado; debemos conseguir expresar el conjunto de los números múltiplos de $5$ consecutivos, y para ello necesitamos una variable independiente. Demos pues un pasito más; esa variable independiente, a la que denotaremos por $i$, ha de protagonizar el recuento, por tanto es necesario que $i\in \{1,2,3,\ldots\}$. Así, podemos ir perfilando la siguiente expresión en función de $i$: $5\cdot ( \lozenge + i )$ ( donde $\lozenge$ denota un número natural arbitrario; y, ajustando el primer sumando del paréntesis para que, siendo $i=1$, el valor de la expresión sea lo más próximo a $15$ ( que es el primer múltiplo ), vemos que el valor que debe tomar el parámetro $\lozenge$ es $2$; y, así, llegamos a la siguiente función $f(i)= 5\cdot (i+2)$ para $i=1,2,3,\ldots$, cuyos valores son los sucesivos múltiplos de $5$. Si $i=1$, $f(1)=15$, que es el primer múltiplo de $5$ que nos interesa. Por otra parte, encontramos que si $i=10$, $f(10)=60$ que es el mayor múltiplo de $5$ menor que $63$, luego el número de dichos múltiplos es $i=10$

A modo de ejemplo, apliquemos ahora este procedimiento a otro problema similar: ¿ Cuántos múltiplos de $11$ hay entre $13$ y $123$ ?. Vamos a ello. Queremos establecer una aplicación biyectiva entre los conjuntos $\{1,2,3,\ldots,i_{\text{máximo}}\}$ y $\{22,33,44,\ldots,121\}$, que deberá ser de la forma $f(i)=11\cdot ( a+i)$, para $i=1,2,3,\ldots,,i_{\text{máximo}}$ y donde $a$ es número entero que, en su papel de parámetro, debemos determinar. Lo hacemos de la siguiente manera. Como para $i=1$, $f(1)=22$ ( el primer múltiplo ), tenemos la siguiente igualdad $22=11\cdot (a+1)$, de donde encontramos $a=1$. Entonces la función que buscábamos es $f(i)=11\cdot (1+i)$ para $i=1,2,3,\ldots,,i_{\text{máximo}}$. Ahora es inmediato ver que el mayor múltiplo de $11$ comprendido entre $13$ y $123$ es $122$, que corresponde a $f(10)$, luego como $i_{\text{máximo}}=10$, el número de múltiplos pedido es $10$
$\square$

Una propiedad que resulta ser clave para poder resolver ciertos problemas de cálculo de probabilidades

PROPOSICIÓN. Si $A_1,A_2,\ldots,A_n$ son sucesos independientes, entonces $$P(\displaystyle \cup_{i=1}^{n} \,A_i)=1-\prod_{i=1}^{n} ( 1-p(A_i))$$

DEMOSTRACIÓN. $P(\cup_{i=1}^{n}\,A_i)=1-P(\overline{\cup_{i=1}^{n}\,A_i})\overset{\text{l. de Morgan}}{=}1-P(\cap_{i=1}^{n}\,\bar{A_i})\overset{\text{independencia}}{=}$
$\displaystyle=1-\prod_{i=1}^{n} ( 1-p(A_i))$

$\square$

martes, 27 de abril de 2021

Arte urbano en forma de motivos geométricos pintados en las fachadas de las casas

Paseando por Madrid. Primavera de 2021.

lunes, 26 de abril de 2021

El problema del pastís

Considerem un pastís de forma circular i suposem que tallem una part del pastís en forma de sector circular de tal manera que aquesta representi $\displaystyle \frac{1}{k}$ del total ($k>1$). Tot seguit, imaginem que tallem un altre sector circular que representi la meitat del primer. I, així successivament infinites vegades (idealització matemàtica). Quin valor ha de tenir $k$ per tal que, al final, tinguem tot el pastís fet a trossos i de tal manera que l'últim tall coincideixi amb el primer ?

Observem que es tracta de fer la suma d'una sèrie geomètrica de raó igual a $\displaystyle \frac{1}{2}$, el primer terme de la qual és $\displaystyle \frac{1}{k}$ i d'infinits termes, per tant es complirà que la suma dels infinits termes sigui igual a $1$, és a dir:
$$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \Big( \frac{1}{k}\cdot \frac{(\frac{1}{2})^n-1}{\frac{1}{2}-1}\Big)=1$$ Com que el valor del límit és igual a $\displaystyle \frac{2}{k}$, tindrem que $$\displaystyle \frac{2}{k}=1$$ i, per tant, $k=2$. Caldrà que comencem, doncs, tallant la meitat del pastís. $\square$

Construint palíndroms numèrics: una conjectura

Una conjectura sobre palíndroms numèrics que serveix de pretext per per apropar-nos una conjectura que es planteja a partir d'un algorisme força conegut per construir palíndroms numèrics és la que descriuré a continuació. L'algorisme és ben simple: prenem un nombre qualsevol i en fem un de nou invertint l'ordre de les xifres, sumem tots dos nombres i repetim el procés fins obtenir un palíndrom numèric. La conjectura consisteix a plantejar la possibilitat que aquest algorisme funcioni per qualsevol nombre amb què comencem el procés. Vegem uns quants exemples ben senzills:

Per a nombres de dues xifres, les quals sumin menys de 10, el palíndrom apareix en un sol pas, p.ex.: 24 -> 42; 24+42 = 66; si sumen més de 10, pot aparèixer en més d'un pas (76 -> 67; 76+67 = 143; 143+341 = 484); naturalment, per a nombres més grans la cosa es complica perquè cal substituir el llapis i la calculadora per un ordinador i escriure un petit programa ... Atenció que hi ha sorpresa ! El que semblava una cosa ben innocent, es converteix amb un problema computacional (espero que disposeu d'un Pentium dels nous) . Algú sap si s'ha trobat algun contraexemple que refuti la conjectura ?.